Plattenkondensator

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Hallo!

Folgendes Problem: Man stelle sich einen Plattenkondensator, der zur Hälfte mit einem Dielektrikum

und zur anderen Hälfte mit Luft

gefüllt ist, vor. Das Dielektrikum verläuft parallel zu den Kondensatorplatten. Die Abmessungen und die Dielektrizitätszahlen sind bekannt. An den Kondensator wird eine bekannte Spannung U gelegt.

Welche Oberflächenladungen befinden sich auf den Platten?

Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, an der obersten Fläche befindet sich eine positive Ladung

; die Ladung auf der untersten Fläche ist betragsmäßig gleich, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen

; und die Oberflächenladung dort wo die Dielektrika zusammenstoßen ist 0.

Ist das richtig? Wie kann ich das rechnerisch verifizieren?

Ich freu mich über jeden Vorschlag.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dein Raten (bzw. = deine Vorüberlegung) ist schonmal okay.

(Die Ladung an der Grenzfläche zwischen den Dielektrika scheint mir hier nicht gefragt zu sein, oder? Falls doch, sollte man dafür nicht vergessen,die Polarisationsladungen an den Grenzflächen des Dielektrikums zu berücksichtigen.)

Welche Gleichungen kennst oder findest du für Ladungen, Spannungen, Entfernungen, ... in einem Plattenkondensator? Wie würdest du sie kombinieren, um damit eine Reihenschaltung zweier Plattenkondensatoren zu beschreiben?

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Ich bin mir nicht ganz sicher, was die grundsätzliche Vorgehensweise angeht.

Formeln:

Grenzflächenbedingung:

bzw.

Berechnung (x-Achse verläuft von der untern Platte in Richtung obere Platte):

Eine der beiden E-Größen lässt sich mit der Grenzflächenbedingung substituieren und die zweite müsste sich dann berechnen lasssen.

Von E kann man mit dem Grausschen Gesetz auf die Ladung schließen.

Würde man das so machen?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ui, so kompliziert ist das hier nicht gemeint, dass du Integrale bräuchtest. (Denn innerhalb so eines Plattenkondensators hat man es ja einfach mit konstanten Werten zu tun.) Magst du mal die einfachen Formeln für den Kondensator zusammenstellen, die du zum Beispiel aus der Schule schon kennen dürftest?

Und damit überlegen, was für eine Reihenschaltung gelten muss?

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Also so:
Kapazitäten der beiden Teilprobleme:

Gesamtkapazität:

Gesamtladung:

Ladung auf den Plattenoberflächen

und

.

So weit, so gut. Die Ladung auf der Oberfläche zwischen den Dielektrika ist tatsächlich auch gefragt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden smile

(Vielleicht bietet es sich am Ende der Gesamtrechnung dann an, die Ladung auf der einen Kondensatorplatte und die Polarisationsladung am dortigen Ende des Dielektrikums zu einer Ladung zusammenzufassen. Dann ergibt die Summe der drei Ladungen an den drei Flächen auch tatsächlich so Null, wie man es erwarten würde.)

Kannst du nun diese Gleichungen auch für beide Teilkondensatoren aufstellen (soweit du es nicht schon getan hast)?

Kommst du damit (und vielleicht noch mit Formeln für das E-Feld und das D-Feld in den Kondensatoren ... ) schon konkret weiter, um Ansätze für diese Aufgabe zu finden?

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Hmm. Vielleicht stell ich mich jetzt besonders blöd an, aber:

Mit der Grenzflächenbetrachtung von vorher folgt:

Ich befürchte, ich weiß nicht wie man Polarisationsladungen beschreibt.
Das elektrische Feld im Dielektrikum ist schwächer, da ein P-Feld entgegenwirkt. Müsste ich etwa

aufstellen. Oder wo wird die Polarisationsladung berücksichtigt?

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Achso: Die Beschreibung für P steckt quasi in

.

Die Oberflächenladungen (von oben nach unten aufgezählt) sind:

.

Ergänzt beim Editieren:
Wahrscheinlich mit anderen Vorzeichen:

?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, jetzt hast du den Bogen raus smile

Magst du das alles mal verwenden, um Gleichungen aufzustellen, die die Ladungen auf den Platten und Grenzflächen nur noch in Abhängigkeit der laut Aufgabenstellung gegebenen Größen darstellen?

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Wunderbar. Das freut mich. smile

Eine Sache bleibt da noch: Nun will ich E und D in Abhängigkeit von

zeichen und die

-Achse liegt aber recht unangenehm. Wiederum bin ich gewillt zu integrieren.

Gibt es in dem Fall auch einen einfacheren Weg?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Sind das nicht einfach konstante Werte?

Also

und

für

zwischen Null und

, und

und

für

zwischen

und

?

Kannst du die konstanten Werte dieser Vektoren aus deinen Gleichungen bestimmen? (ohne integrieren Augenzwinkern

)

divB · Anmeldungsdatum: 31.05.2008 Beiträge: 7

Mit anderen Worten: Egal wie die Achse verläuft die Skizze schaut immer gleich aus? (Die schiefe Achse dient nur der Verwirrung?). D.h. ich kann die Skizze sofort aus den Grenzflächenbedingungen zeichnen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was ist denn genau gefragt? Die e- und D- Feld- Vektoren in den Punkten auf der schiefen Achse? Dann kann du sie einfach bereichsweise angeben.

Oder ist vielleicht die Komponente der Feldvektoren entlang der schiefen Achse gemeint? Dann müsstest du einfach noch eine Vektorenzerlegung machen und das mit Winkelfunktionen ausrechnen.