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Simonko
Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 59
Wohnort: Südtirol
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 Simonko Verfasst am: 27. Dez 2004 03:40 Titel: Modellierung: Skateboardfahrer in Halfpipe (rekursiv) |
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| Zitat: | Ein Skateboardfahrer steht am oberen Ende einer Halfpipe. Er wiegt 70 kg. Die Halfpipe ist halbkreisförmig und hat einen Durchmesser von 12 m. Der skateboardfahrer fährt die halfpipe herunter.
a) Beschreibe dieses Modell mathematisch.
b) Welche Änderungen müssen gemacht werden wenn die Reibung berücksichtigt wird? |
Bei anderen Modellen sollten wir immer Beschleunigung, Geschwindigkeit, zurückgelegte Strecke für jeden zeitpunkt errechnen, so mit Differenzengleichung.
Kann mir einer hier mal helfen? Vor allem das wegen des Halbkreises, da kenn' ich mich total nicht aus.
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Ich bin /root ich darf das! |
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dachdecker2
Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004
Beiträge: 1174
Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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| dachdecker2 Verfasst am: 28. Dez 2004 11:10 Titel: |
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Hilft es Dir schon weiter, wenn ich dir sage, dass die Gleichung für einen Kreis
Radius^2 = x^2 + y^2
ist?
Diese Gleichung könntest du nach y umstellen und danne deine Aufgabe lösen. (achte auf die Vorzeichen)
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Gruß, dachdecker2
http://rettedeinefreiheit.de |
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 28. Dez 2004 17:59 Titel: |
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Nein. wofür soll diese gleichung gut sein? was stellt x und y dar?
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 28. Dez 2004 18:25 Titel: |
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x und y sind die Koordinaten eines Punktes, wenn du ein kartesisches Koordinatensystem in deine Halfpipe legst mit dem Mittelpunkt als Ursprung.
Aber es ist eigentlich leichter, wenn man das ganze in Zylinderkoordinaten macht. Dann hat man nicht mehr x und y als Variablen, sondern nur noch eine Variable, nämlich den Winkel. Denn der Radius der Halfpipe ist konstant. So ist man dann auch die Zwangsbedingung los (d.h. die Bedingung dass er sich auf dieser Kreisförmigen Halfpipe bewegt).
Hmm, joa und dann kann man nen Energieerhaltungsansatz machen, aber wenn ich mich nicht irre, kommt man da auf irgentne doofe DGL die man nicht analytische gelöst bekommt.
Insofern bin ich mir auch nicht sicher inwieweit diese mathematische Beschreibung gehen soll. 
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 28. Dez 2004 19:18 Titel: |
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Das mit den koordinaten (X,Y) würde schon passen. Den schiefen wurf hatten wir auch so gelöst.
ich verstehe aber immer noch nicht wie ich diese gleichung nutzen soll.
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dachdecker2
Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004
Beiträge: 1174
Wohnort: Zeppelinheim / Hessen
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| dachdecker2 Verfasst am: 29. Dez 2004 10:24 Titel: |
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Die Halfpipe ist laut Aufgabe ein Kreis. Um damit was anfangen zu können, brauchst du die Funktion, die das beschreibt:
 = - \sqrt{ Radius^2 - x^2 })
wobei -Radius * Pi <= x <= Radius * Pi ist.
Die Kurvenlänge kannst du entweder über die Trigonometriischen Funktionen errenchnen (arctan) oder direkt aus der Funktionsgleichung (sieht besser aus  ):
^2} ~dx)
Für Geschwindigkeit, Beschleunigung und so würd ich auch den Energieansatz nehmen, da kannst du auch die Reibung berücksichtigen.
Wenn ich dir die Beschleunigung noch gebe, müsstest du eigentlich alleine klarkommen:
EDIT: Die letzte Gleichung ist falsch und ich bin noch nicht sicher, wie es richtig aussehen muss.
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Gruß, dachdecker2
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Zuletzt bearbeitet von dachdecker2 am 29. Dez 2004 16:18, insgesamt einmal bearbeitet |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 29. Dez 2004 13:35 Titel: |
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| dachdecker2 hat Folgendes geschrieben: |
Die Kurvenlänge kannst du entweder über die Trigonometriischen Funktionen errenchnen (arctan) oder direkt aus der Funktionsgleichung |
Kurvenlänge ist also die ganze länge die man laufen müßte von der anderen seite des halbkreises bis zur anderen oder?
gesch währe ja dann nur mehr
vt = vt-1 + at * deltat
oder?
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 29. Dez 2004 17:01 Titel: |
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kannst du mir die länge gleichung erklären? ich versteh nicht was da unter
der wurzel ist.
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 29. Dez 2004 17:32 Titel: |
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Die Bogenlänge l der Kurve einer Funktion f(x) zwischen den Punkten (a;f(a)) und (b;f(b)) ist allgemein zu bestimmen wie dachdecker2 es ausgedrückt hat:
^2} ~dx)
... das steht auch in einigen Tafelwerken.
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Formeln mit LaTeX |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 29. Dez 2004 17:57 Titel: |
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Warum so allgemein machen, wenn man es nur speziell braucht?
Die Bogenlänge eines Halbkreises, ist der halbe Umfang eines Kreises, also einfach  . (Das ist um einiges einfacher, vor allem weil das Integral was man da ausrechnen muss nicht gerade hübsch ist, also ich bekomm es zumindest nicht ohne weiteres per Hand gelöst. Aber auf beiden Wegen erhält man das selbe Ergebnis)
Btw warum wollt ihr eigentlich die Bogenlänge ausrechnen?
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 30. Dez 2004 00:02 Titel: |
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die bogenlänge müsste dann irgendwie mit dem radius in verbindung gebracht werdn in einer formel dann weiss man wie lang alles ist. oder?
aber wozu brauch ich die bogenlänge?
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Nikolas
Ehrenmitglied
Anmeldungsdatum: 14.03.2004
Beiträge: 1873
Wohnort: Freiburg im Brsg.
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| Nikolas Verfasst am: 30. Dez 2004 00:11 Titel: |
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@ Gast 'Somonko_': Bist du eigentlich der, der auch einen Account unter diesem Namen hat? Es ist etwas verwirrend, wenn es sowohl einen registrierten User, als auch einen Gast unter dem gleichen Namen gibt.
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Erwarte das Beste und sei auf das Schlimmste vorbereitet. |
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yeti777
Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 160
Wohnort: Schweiz
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| yeti777 Verfasst am: 30. Dez 2004 14:27 Titel: |
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Hoi zusammen!
Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen, habe aber meine Probleme damit. Siehe angehängte Skizze zum besseren Verständnis.
Ausgegangen bin ich vom Ortsvektor  ) einer beliebigen gekrümmten Bahn eines Massepunkts mit  , Teilmenge  (wie geht eigentlich das Teilmengezeichen?).
} ) ist eine Funktion der Zeit t. Als zulässige Parametertransformation habe ich die Bogenlänge eingeführt s(t).
Erste Ableitung, Geschwindigkeit: }= \frac{d\vec{r} }{dt} = \frac{d\vec{r} }{ds} \cdot \frac{ds}{dt}= \vec{t(s)} \cdot v(t))
} ) ist ein Einheitsvektor in Richtung der Tangente der Kurve,  ) ist die Bahngeschwindigkeit (Skalar).
Zeite Ableitung, Beschleunigung: }= \frac{d\vec{r}^2 }{dt^2} = \frac{d\vec{r} }{ds} \cdot \frac{d^2s}{dt^2} + \frac{d\vec{r}^2 }{ds^2}\cdot (\frac{ds}{dt})^2= \vec{t(s)} \cdot a(t)+ \kappa \cdot \vec{n} \cdot (\vec{v(t)})^2 ) . Dabei ist  der Normaleneinheitsvektor und  die Krümmung. ) ist die Beschleunigung tangential zur Bahn, der Term mit die Beschleunigung senkrecht zur Bahn.
Betrachtet man nun die angehängte Skizze, so erkennt man, dass die durch die Erdbeschleunigung bewirkte Tangentialbeschleunigung gleich ist zu = g\cdot cos(\phi(t))= g\cdot cos(s(t)/r) ) .
Setzt man die tangentialen Anteile der Beschleunigung gleich, so führt das auf folgende Diff.gleichung: }- g\cdot cos(\frac{s(t)}{r}) = 0 )
Diese DGL konnte ich analytisch nicht lösen. Also habe ich eine numerische Lösung mit Runge-Kutta versucht. Das geht. Das Störende ist aber, dass ich mit meiner numerischen Lösung nie die maximale Geschwindigkeit erreiche. Es gilt doch (ohne Reibung): 
Mit der numerischen Lösung der DGL komme ich aber nur auf 10.82 [m/s]!!!
Wo liegt der Hund begraben  . Vollblutphysiker, meldet euch!
Gruss yeti
| Beschreibung: |
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Sokrates 470 - 399 v.Ch. |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
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| navajo Verfasst am: 30. Dez 2004 17:20 Titel: |
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Kannst du mal dieses Runge-Kutta-Verfahren vorführen, wenns nicht zu viel Aufwand ist? Würd mich interessieren. 
Ich vermute mal, dass die Abweichung daher rührt, dass es nur eine numerische Annäherung ist:
| Zitat: | wikipedia
Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch (endliche) Differenzenquotienten zu ersetzen. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten teilweise kompensiert werden. Das Runge-Kutta-Verfahren ist nun eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert. |
@Simonko: Du bist Schüler, oder? Wenn ja, dann sollten wir vll erstmal klären wie weit diese mathematische Beschreibung gehen soll.
Weil die Bewegungsgleichungen kriegt man ja nicht analytisch gelöst. Und ich vermute numerische Näherungen von Lösungen von Differentialgleichungen ist ein wenig utopisch für die Schule, finde ich.
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 30. Dez 2004 17:39 Titel: |
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Ja ich bin schüler. j ich brauch zu jedem zeitpunkt deltat einen ortsvektor r(x,y) und die geschwindigkeit. dann muss ich die reibung irgendwie berücksichtigen damit der typ zum stehen kommt irgendwann.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
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| navajo Verfasst am: 30. Dez 2004 18:14 Titel: |
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Die Bewegungsgleichung allgemein für jeden Zeitpunkt dürfte man aber nicht so leicht hinkriegen, denn man kommt gezwungendermassen auf sowas wie yeti777:
| yeti777 hat Folgendes geschrieben: |
Diese DGL konnte ich analytisch nicht lösen.
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Und das kann wohl nicht nur er nicht analytisch lösen.
Hmm ich seh grad, du hast geschrieben ihr habt das sonst mit Differenzengleichungen gemacht. Hmm da hab ich ja nun aus dem Stehgreif keine Ahnung von  . Aber vll gehts ja damit irgendwie
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yeti777
Anmeldungsdatum: 10.11.2004
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| yeti777 Verfasst am: 30. Dez 2004 18:14 Titel: |
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@navajo
Hallo Häuptling (navajo!),
Im Prinzip basiert das Runge-Kutta-Verfahren auf der TAYLOR-Reihe. Aber es würde zu weit führen, dies hier darzulegen (in meiner Vorlesung sind das viele Seiten). Beim Runge-Kutta-Verfahren gibt es verschiedene Ordnungen. Ich habe Ordnung 4 verwendet, was auch als das klassische Runge-Kutta-Verfahren bezeichnet wird.
Das Runge-Kutta-Verfahren ist meiner Erfahrung nach ziemlich genau. Deshalb wundert mich die relativ grosse Abweichung und ich frage mich, ob ich nicht bereits im Ansatz einen Fehler gemacht habe. Ich bin von Haus aus nicht Physiker und möchte daher gern, dass ein Physiker meinen Ansatz überprüft.
Zu bemerken ist noch, dass die vorgelegte Lösung nur für den ersten Viertelkreis der Halfpipe gilt. Wenn der Skater einmal die tiefste Stelle passiert hat (Ort der grössten Geschwindigkeit und damit der grössten kinetischen Energie), wirkt die Erdbeschleunigung nicht mehr als treibende Kraft, sondern als bremsende. Man muss dager ein zweites AWP (Anfangswertproblem) ansetzen. Im reibungsfreien Fall wird ja beim Steigen in der Halfpipe (kein sich bewegender Skater, nur Massepunkt!) die kinetische Energie wieder verlustfrei in potentielle Energie umgewandelt.
Wenn Simonko Schüler ist (welche Klasse?), frage ich mich auch, was in dieser Aufgabe wirklich gefragt ist. Vielleicht gehören Diff.gleichungen noch nicht zum Repertoire und es geht u.U. nur um die Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie und umgekehrt. In diesem Fall einfach zu bestimmen ist die max. Geschwindigkeit am tiefsten Punkt der Halfpipe, eben die 10.85 [m/s].
Gruss aus dem verschneiten Appenzell und einen guten Rutsch ins Neue wünscht dir
yeti 
Edit1: Sehe gerade, dass etwas gelaufen ist, während ich mit meinem "Adlerstechverfahren" am Tippen war.
Also, wenn das Simonko lösen können muss, scheine ich mit meinem Ansatz total "auf dem Schlauch" zu stehen
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yeti777
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| yeti777 Verfasst am: 30. Dez 2004 18:28 Titel: |
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Das Umlegen auf x(t) und y(t) ist einfach, wenn man mal die Lösung für die Bogenlänge s(t) hat. Es gilt
} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot cos(\frac{s(t)}{r} \\ r \cdot sin(\frac{s(t)}{r} \end{pmatrix} )
Meine Frage ist: Simonko, wie macht ihr das denn mit den sog. Differenzengleichungen?
Gruss yeti
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 30. Dez 2004 21:00 Titel: |
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wir machen dass so mit differenzengleichung. ich uploads mal. es sollte irgendwie so aussehen. wobei man hier aber bei dieser aufgabe besser einen ortsvektor r(x,y) benutzt als s(zurückgelegte strecke).
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yeti777
Anmeldungsdatum: 10.11.2004
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| yeti777 Verfasst am: 01. Jan 2005 18:15 Titel: |
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Hallo Simonko,
Ich habe begriffen, wie ihr das macht. Du musst aber trotzdem a(t), v(t), und s(t) für die Bogenlänge berechnen und dann via die Parameterdarstellung des Kreises auf die xy-Koordinaten umrechnen. Die Formeln dazu stehen in meinem letzten Beitrag.
Ist das Thema noch aktuell? Heute habe ich keine Zeit mehr, mich damit zu befassen. Aber wenn es wichtig ist, könnte ich es morgen oder übermorgen noch einmal anpacken.
Gruss yeti
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Sokrates 470 - 399 v.Ch. |
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 01. Jan 2005 19:40 Titel: |
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Ich brauch das bis zum 12 jänner.
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 271
Wohnort: Bavaria
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 02. Jan 2005 18:19 Titel: |
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| yeti777 hat Folgendes geschrieben: |
Zeite Ableitung, Beschleunigung: . Dabei ist der Normaleneinheitsvektor und die Krümmung. ist die Beschleunigung tangential zur Bahn, der Term mit die Beschleunigung senkrecht zur Bahn.
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Das ist meiner Auffassung nach falsch!!!!!!
Denn:
 ist der Krümmungsradius und somit muss es eigentlich lauten:
}=\vec{t}(s) a(t) + \frac{ \vec{n} (\vec{v}(t))^2 }{\kappa} ) .
wobei deine Darstellung auch etwas seltsam ist, denn normalerweise wird alles Zeitabhängig dargestellt, also sind auch die Normal und Tangentialverktoren zeitabhängig. Sie von der Krümmungswegstrecke abhängig zu machen wie du es mit dem Tangentialeinheitsvektoren gemacht hast ist eigentlich blödsinn. Ich hätte das ganze eher so dargestellt.
mit ) als Einheitsvektor der Tangentialbeschleunigung
=\frac{dv(t)}{dt}\vec{e_t}(t) + v(t)\frac{de_t(t)}{dt})
und wegen }{dt}=\frac{v(t)}{r}\vec{e_n}(t))
mit  senkrecht auf 
=\dot v (t)\vec{e_t}(t) + \frac{v(t)^2}{\kappa (t)}\vec{e_n}(t))
EDIT:
Zur Differentialgleichung:
Dein Ansatz ist eigentlich korrekt.
Die Lösung für die Differenzialgleichung müsste aber die gleiche wie für das Mathematische Pendel sein.
Und auch hier kommt für  heraus.
Hast du eine Fehlerabschätzung beim Runga-Kutta gemacht?
Ich könnte wetten das der Fehler gleich dem Fehler im Ergebnis ist. 
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MfG
Enthalpus |
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etzwane
Anmeldungsdatum: 23.12.2004
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Wohnort: Hude
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| etzwane Verfasst am: 02. Jan 2005 19:43 Titel: |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: |
| yeti777 hat Folgendes geschrieben: |
Diese DGL konnte ich analytisch nicht lösen.
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Und das kann wohl nicht nur er nicht analytisch lösen. |
Diese Differentialgleichung erinnert mich an die DGL für ein Fadenpendel bei großen Ausschlägen (obwohl mich das negative Vorzeichen bei cos etwas irritiert), und von der weiß ich, dass sich eine Lösung mit Hilfe der elliptischen Integrale bzw. Funktionen in geschlossener Form darstellen lässt.
Nur weiß ich nicht, ob diese Darstellung heute noch üblich ist. Früher waren die entsprechenden Formeln jedenfalls in den Formelsammlungen sowie die entsprechenden Funktionen tabelliert.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 02. Jan 2005 19:52 Titel: |
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Wenn der yeti richtig gerechnet hat, ist es genau dieselbe wie beim Fadenpendel. Das Problem ist ja auch komplett analog, nur dass hier die Zwangsbedingung die Halfpipe ist und beim Pendel der Faden. Aber die laufen ja beide darauf hinaus, dass der Abstand vom Mittelpunkt konstant sein muss.
Hmm *denk*, aber ich frag mich auch grad ob das Minus sein kann, denn für kleine Winkel (mit cosx=x und so) bekäm man dann ja sowas wie ne e-Funktion als Lösung anstatt cos und sin.
Edit: Kann auch sein dass ich das mit deiner Bogenlänge nicht verstanden habe
Also ich komm auf diese DGL, wenn ich das durch den Winkel zur Vertikalen beschreibe:
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 02. Jan 2005 20:20 Titel: |
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@Navajo:
Das kann nicht sein.
Du hast hier gerade die DGL zur Beschreibung der Änderung der Normalbeschleunigung mit dem Winkel angegeben.
Du hast wahrscheinlich den Winkel falsch eingezeichnet.
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MfG
Enthalpus |
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navajo
Moderator
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 02. Jan 2005 22:04 Titel: |
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Irendwie hat´s die Aufgabe in sich.
Ich versuchs mal mit Energien.
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MfG
Enthalpus
Zuletzt bearbeitet von Enthalpus-Laplacus am 03. Jan 2005 06:05, insgesamt 15-mal bearbeitet |
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Enthalpus-Laplacus
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 02. Jan 2005 22:38 Titel: |
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@Navajo:
Ich komme aber auf:
du hast nämlich einen Vorzeichenfehler bei der Koordinatentransformation:
Edit:
Yeti777 und Ich haben das mit normalem Newtonschen Formalismus versucht zu lösen. (Ich zumidest bin kein Freund von Lagrange und Co)
Unter Normalbeschleunigung ist hier die Kraft der Auflage auf den Massenpunkt gemeint (Zentripetalkraft). Nach der Skizze von Yeti777 ist meine aussage von vorhin dann richtig.
Die DGL nach dem Lagrange formalismus müsste aber auf die gleiche Lösung führen.
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MfG
Enthalpus |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 02. Jan 2005 22:54 Titel: |
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| Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: | @Navajo:
Ich komme aber auf:
du hast nämlich einen Vorzeichenfehler bei der Koordinatentransformation:
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Hups, stimmt meine Transformation passt nicht mit meiner Skizze überein. Aber der Vorzeichenfehler da sorgt nicht für ein Minus in der DGL. Denn die x-Komponenten kommt quasi nur im  vor, da verschwindet das vorzeichen eh wieder.
Wenn dann müsste der Fehler in der y-Komponente bzw in der Potientiellen Energie liegen (Oder ich hab mich verrechnet ).
Allerings glaube ich dass meine Lösung richtig ist, denn damit kommt für kleine Winkel auch ein harmonischer Oszilator raus, wie es ja auch sein muss:
mit  :
Sowas führt ja auf Cosinus und Sinus.
Mit nem Minus käme man ja auf:
Das gibts ja irgendne e-Funktion.
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 02. Jan 2005 23:01 Titel: |
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Da muss ich dir wiedersprechen, denn:
und somit
Soweit ich mich erinnere, passt das mit der e-Funktion.
Man kann durch Reihenetnwicklung zeigen, dass die e-Funktion aus sinus und cosinus zusammengesetzt ist.
Das wird ja glaube ich auch bei der Lösung von DGL durch linearkombination ausgenutzt.
EDIT: Sicher bin ich mir da aber jetzt auch nicht.
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MfG
Enthalpus |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 02. Jan 2005 23:57 Titel: |
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| Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: | Da muss ich dir wiedersprechen, denn:
und somit
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In der Lagrange-Gleichungs steht ja auch noch ein Minus, was sich mit dem Minus von der Partiellen Ableitung tot macht.
| Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: |
Soweit ich mich erinnere, passt das mit der e-Funktion.
Man kann durch Reihenetnwicklung zeigen, dass die e-Funktion aus sinus und cosinus zusammengesetzt ist.
Das wird ja glaube ich auch bei der Lösung von DGL durch linearkombination ausgenutzt. |
Meine Dgl ist ja eine lineare Dgl 2ter Ordnung. Die kann man ja umbauen in eine 2 dimensionale lineare Dgl 1ter Ordnung. Die sieht dann irgentwie so aus:  . Dann kann man die Eigenwerte  von A bestimmen und Lösung ist dann sowas wie  . Das schreibt man dann in diese Schreibweise mit Sin und Cos um und kriegt wie du schon gesagt hast durch Linearkombination linear unabhängige Reele Lösungen, nämlich Sinus und Cosinus.
Aber eigentlich meinte ich es garnicht so kompliziert, man kann da ja direkt die Lösungen "raten": Ne Funktion die 2mal abgeleitet das negative von sich selbst gibt errät man halt als sinus oder cosinus und ne funktion die sich selbst ergibt ist die e-funktion.
Hier ist nochmal ne Herleitung fürs Fadenpendel:
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/lagrange/node16.html
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Enthalpus-Laplacus
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 03. Jan 2005 00:02 Titel: |
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OK. Stimmt.
Das (-) habe ich hier scheinbar übersehen.
Dann passt das ganze ja so wie du es gemacht hast.
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MfG
Enthalpus |
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 03. Jan 2005 04:47 Titel: |
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Ich möchte zwar weder vulgär, noch arrogant oder sonstwie erscheinen aber eines muss ich loswerden:
Welcher IDIOT von Lehrer stellt eine eigentlich so komplexe Aufgabe in der Schule????
Das ist doch eigentlich total hirnrissig.
Und da wundern sich die Leute über PISA.
Die Kids in der Schule wissen zwar nicht wie man die relative Luftfeuchte bestimmt, oder wie man Feststellt ob sich ein Wirbelstrum auf der jeweiligen Nord/Südhalb Kugel links oder rechts herum dreht bzw. warum das so ist geschweige denn annähernd eine Ahnung von den Newtonschen Axiomen zu besitzen
aber so einen "Scheiß" von Ihnen verlangen. Da kann man seine Kinder wirklich nur noch auf eine Privatschule Schicken (und zwar so eine richtig teure).
Da ist es doch kein Wunder das es mit Deutschland den Bach runter geht.
(Musste mal sein.)
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MfG
Enthalpus
Zuletzt bearbeitet von Enthalpus-Laplacus am 03. Jan 2005 06:11, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 03. Jan 2005 08:12 Titel: |
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Könnte es eventuell sein dass wir alle viel zu kompliziert denken?
| Simonko_ hat Folgendes geschrieben: | | ich brauch zu jedem zeitpunkt deltat einen ortsvektor r(x,y) und die geschwindigkeit |
Das klingt eher als wäre nach einem rekursiven Lösungsweg gesucht (wegen dem Δt) - würde auch lehrplanmäßig besser in die 11. Klasse passen (denk' ich zumindest).
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Gast
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| Gast Verfasst am: 03. Jan 2005 10:06 Titel: |
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| Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: |
Das heißt die Energiegleichung würde folgendermaßen aussehen:
=\frac{2mgr(1-sin\varphi)}{2}+\int_A^C \mu F_N ds)
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Hier hast du über die Energiegleichung ohne Reibung die Geschwindigkeit ausgerechnet und dann in die Energiegleichung mit Reibung eingesetzt. Das ist ja aber nicht richtig, denn so berücksichtigt die eingesetzt Geschwindigkeit die Reibung ja garnicht.
Halt ne, du hast ja garnicht die Geschwindigkeit eingesetzt. Aber was hast du da gemacht? Sieht irgendwie ein bisschen wie deine Potentielle Energie aus, aber das wär ja auch nicht richtig.
| Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: |
mit  folgt
=\sqrt{\frac{sin\varphi}{3\mu - sin\varphi}-x^2})
Das wäre die "standard" Beschreibung der Bewegung des Skateboarders unter berücksichtigung der Reibung in Abhängigkeit der x-Koordinate.
Ich hoffe das es so stimmt.
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Hmm das kommt mir irgentwie komisch vor. Die y-Komponente abhängig von der x-Komponente sollte doch einfach einen Halbkreis beschreiben. Also =\sqrt{r^2-x^2}) . Und die Reibung dürfte das ja nicht beinflussen.
r war doch der Radius des Kreises, oder? Dass der von  und von  versteh ich auch nicht.
Aber prinzipiell müsste dieser Energieansatz ja richtig sein.
| para hat Folgendes geschrieben: | Könnte es eventuell sein dass wir alle viel zu kompliziert denken?
Das klingt eher als wäre nach einem rekursiven Lösungsweg gesucht (wegen dem Δt) - würde auch lehrplanmäßig besser in die 11. Klasse passen (denk' ich zumindest).
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Jo so mathematisch soll die Beschreibung warhscheinlich gar nicht sein . Vll sollten wir uns mal nen Ansatz überlegen, der mehr in Simonkos Sinne ist.
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yeti777
Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 160
Wohnort: Schweiz
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| yeti777 Verfasst am: 03. Jan 2005 14:16 Titel: |
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Hoi zäme!
Ich freue mich, dass das Problem von Simonko auch das Interesse der jungen Löwen der Physik gefunden hat. Ich habe die in der Zwischenzeit geschriebenen Beiträge nicht im Detail studiert, möchte aber zu meinem Lösungsansatz folgende Bemerkungen hinzufügen:
1. @Laplacus:
| Enthalpus-Laplacus hat Folgendes geschrieben: | | yeti777 hat Folgendes geschrieben: |
Zeite Ableitung, Beschleunigung: . Dabei ist der Normaleneinheitsvektor und die Krümmung. ist die Beschleunigung tangential zur Bahn, der Term mit die Beschleunigung senkrecht zur Bahn.
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Das ist meiner Auffassung nach falsch!!!!!!
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Das ist nicht falsch!  IST die Krümmung. Das zeigt schon eine Plausibilitätsbetrachtung: Bei grossen Krümmungen ist die durch die Richtungsänderung bedingte Zentripetalbeschleunigung gross. Der Krümmungsradius ist  . Hingegen habe ich geschlampt beim Hinschreiben des Normalenvektors. Selbstverständlich ist dieser von der zurückgelegten Bogenlänge abhängig und diese wiederum von der Zeit t. Eigentlich müsste es heissen n(s(t)). Siehe dazu mein Mengen-Kommutationsdiagramm im Anhang 1.
2. Zur Frage sin/cos: Beachtet, dass ich meinen Winkel  etwas unorthodox definiert habe. Mit dem Additionstheorem des Sinus ergibt sich Übereinstimmung mit dem klassisch definierten Winkel  , siehe Anhang 1.
3. Genauigkeit der numerischen Lösung der DGL: Im Gejufel hatte ich keine Zeit, eine Fehlerabschätzung zu machen. Eure Vermutung ist aber schon richtig. Die sich ergende Abweichung zur exakten Lösung hängt nur von der Schrittweite bei der numerischen Integration ab. In einem 2. Versuch habe ich mal die Schrittweite halbiert, dh. delta_t = 0.05 [s] gesetzt und damit sehr brauchbare Resultate erhalten. im Punkt s = 3*pi (Radius = 6 [m]) stimmt die numerische Lösung praktisch auf 5 Dezimalen nach dem Komma mit der exakten Lösung überein, siehe Anhang 2.
4. Zur Lösung s(t): Siehe Grafik im Anhang. Ergibt eine ungedämpfte (da keine Reibung) cos-ähnliche Schwingung (mit dem von mir gewählten Koordinatensytem). Relevant für die gestellte Halfpipe-Aufgabe ist natürlich nur der Bereich bis zum ersten lokalen Maximum.
5. Die xy-Koordinaten in Funktion von ergibt sich jetzt durch die Parameterdarstellung des Kreises: x(t) = r*cos(s(t)/r), y(t) = r*sin(s(t)/r).
6. Jetzt muss ich mich der Lösung für den "armen" Simonko zuwenden, der wahrscheinlich durch unsere Fachsimpelei den Faden vollends verloren hat. Ich denke, ich habe begriffen, was er will: Er will die DGL (die er eigentlich gar nicht sehen will) mit dem Polygonzugverfahren von EULER (Einschrittverfahren) integrieren, zuerst für v(t), dann für s(t) in den xy-Koordinaten. Da dieses Verfahren, im Vergleich mit raffinierteren, recht einfach ist, kann man natürlich nicht dieselbe Genauigkeit erwarten. Geduld! Wenn ich die nötige Zeit noch finde, werde ich die Lösung hier posten. Nur Mut, Simonko  !
7. Vorzeichen des cos in der DGL: Ja, das ist auf Grund meiner allerersten Skizze negativ. Warum das nicht mit dem klassischen Ansatz des Fadenpendels (habe übrigens die Analogie nicht gesehen, da zu lange weg von der Physik) übereinstimmt, kann ich mir nicht erklären. Nur soviel: Wenn ich das Vorzeichen in meiner DGL positiv einsetze, erhalte ich eine negative Bogenlänge .
Gruss yeti
| Beschreibung: |
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Ich weiss, dass ich nichts weiss.
Sokrates 470 - 399 v.Ch. |
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Simonko_
Gast
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| Simonko_ Verfasst am: 03. Jan 2005 18:06 Titel: |
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| yeti777 hat Folgendes geschrieben: |
6. Jetzt muss ich mich der Lösung für den "armen" Simonko zuwenden, der wahrscheinlich durch unsere Fachsimpelei den Faden vollends verloren hat.
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genau
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 03. Jan 2005 18:15 Titel: |
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| Simonko_ hat Folgendes geschrieben: | | genau |
Viel interessanter wäre aber, ob ihr in der Schule bereits mit Differentialgleichungen umgeht, dir also die Berechungen seitens yeti, enthalpus und najavo dir was gebracht haben, oder ob du in etwa so schlau bist wie vorher.
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Formeln mit LaTeX |
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Enthalpus-Laplacus
Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 271
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| Enthalpus-Laplacus Verfasst am: 03. Jan 2005 18:42 Titel: |
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@Yeti777:
Das mit der Krümmung war mir jetzt neu. Habe immer mit dem Krümmungsradius gearbeitet. Aber man lernt ja nie aus .
Und irgendwie komme ich immer noch nicht auf nen grünen Zweig beim Energieansatz.
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MfG
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