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GoTo
Anmeldungsdatum: 08.06.2004
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 GoTo Verfasst am: 18. Jan 2008 19:15 Titel: Lokalisationsenergie im Kern |
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Hi @all
Ich habe folgende Aufgabe, deren Rechnung mir eigentlich klar und verständlich ist, aber das Ergebnis kann ich absolut nicht einordnen.
Wie groß sind die Lokalisationsenergie und Geschwindigkeit eines e- im Kern eines Na-Atoms (r=4*10^(-15)m)
Spontan hab ich mit einem relativistischen ansatz angefangen, da v ja recht groß sein müsste. Über:
 und
hatte ich die Lokalisationsenergie (W) recht schnell gefunden. Wenn ich jetzt aber W=kin. Energie setze, dann bekomme ich für v 9,73*10^9 heraus. Also wäre trotz relativistischem Ansatz v>c. Aber das ist doch nach Einstein unsinnig, denn c ist doch quasi Grenzgeschwindigkeit eines jeden Teilchens.
Könnt ihr mir sage, wo der Haken an der Rechnung liegt?
Ich könnte mir höchstens versuchen es so zu erklären, dass diese Rechnung ein Gedankenexperiment ist, die beweist, dass sich aus welchen Günden auch immer im kern keine e- aufhalten, da sie sonst eine Geschwindigkeit jenseits von c tragen müssten, was jedoch nicht geht.
Ich hoffe auf eure Hilfe.
Grüße und schönes WE
GoTo
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Das Genie beherscht das Chaos |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2008 21:54 Titel: Re: Lokalisationsenergie im Kern |
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Hallo,
wie hast du ganz am Anfang den Ansatz gemacht? Vielleicht über Heisenberg auf das  geschlossen? Magst du das noch kurz zeigen?
| GoTo hat Folgendes geschrieben: | Wenn ich jetzt aber W=kin. Energie setze, dann bekomme ich für v 9,73*10^9 heraus.
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Hast du da vielleicht irgendwie nichtrelativistisch weitergerechnet? Denn natürlich ist zwar
W = die kinetische Energie des Elektrons,
aber das bedeutet natürlich nicht, dass  mv^2) oder dass  m_0 v^2) wäre.
Der einfachste Weg, um mit relativistischer Rechnung an das  zu kommen, scheint mir  zu sein, wenn du den relativistischen Impuls schon hast und wenn du für das  den Ausdruck für die relativistische Masse nimmst. |
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GoTo
Anmeldungsdatum: 08.06.2004
Beiträge: 166
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| GoTo Verfasst am: 19. Jan 2008 12:14 Titel: |
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Sorry, wenn ich ein wenig zu schnell war.
Hier mal mein Ansatz ausführlich:
r=4*10^(-15)m --> L=8*10^-(15)m
 bzw.
*v= \frac {m_{0}} {\sqrt {1- \frac {v^2} {c^2}}} * v )
Wenn ich das Ganze umforme, also zunächst mit der Wurzel multipliziere, dann die Gleichung quadriere und mit c^4 multipliziere kann ich die Energie (E=mc²) und den Impuls (p=mv) einsetzen und erhalte meine Gleichung:
umgeformt: 
^2 + p^2 c^2 = E^2 )
Weiterhin müsste gelten:
Alles eingesetzt ergibt dann:
Als letztes würde ich dann sagen:
Ich hoffe jetzt ist mein Ansatz ein wenig verständlicher. Aber immer noch falsch^^
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Das Genie beherscht das Chaos |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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| dermarkus Verfasst am: 20. Jan 2008 01:05 Titel: |
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Mit deinem Ansatz aus Heisenberg bin ich einverstanden, bis auf eine kleine Rückfrage:
| Zitat: |
Weiterhin müsste gelten:
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Wolltest du hier nicht den halben Wert davon für  nehmen? Denn das Intervall von  bis  ist ja doppelt so groß wie die das  selbst?
Danach sieht alles prima aus bis auf das, was ich oben vermutet hatte:
| Zitat: |
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Wenn du relativistisch rechnest, darfst du natürlich nicht diese Formel hier nehmen, denn die gilt ja nur klassisch. Möchtest du stattdessen einfach mit
| Zitat: |
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zu Ende rechnen? |
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GoTo
Anmeldungsdatum: 08.06.2004
Beiträge: 166
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| GoTo Verfasst am: 20. Jan 2008 12:57 Titel: |
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Das mit dem Intervall kann ich noch nicht so ganz nachvollziehen. Warum dass eigentlich nur ein halb px sein soll.
Aber das mit der energie ist einleuchtend. Folglichm kann ich mir die ganze Rechnung mit den Energie sparen. Wenn ich aber direkt den relativistischen Impuls nehme und den nach v auflöse erhalte ich:
Eingesetzt, egal ob px/2 oder nur px ergibt es einen negativen nenner --> Ich kann die Wuzel nur dann ziehen, wenn v eine komplexe Zahl ist.
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Das Genie beherscht das Chaos |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Jan 2008 13:29 Titel: |
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Das mit dem Intervall wäre einfach nur, damit du es einheitlich machst. Denn für das  hast du ja auch den Abstand von  bis  genommen.
Magst du das Umformen deiner Endgleichung für nochmal kontrollieren? Ich bekomme da etwas anderes, und ich vermute, da haben sich bei dir gleich mehrere kleine Fehler eingeschlichen. Bekommst du beim erneuten Umformen auch andere Vorzeichen und Quadrate?
//edit:
Und noch eine Rückfrage: Wolltest du von oben mit  rechnen oder nicht doch lieber mit  . Zweiteres erscheint mir stimmiger. |
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GoTo
Anmeldungsdatum: 08.06.2004
Beiträge: 166
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| GoTo Verfasst am: 20. Jan 2008 13:51 Titel: |
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Achso war das mit dem intervall gemeint, ja dann müsste ich auch mit der Hälfte von  rechnen.
Also einen Fehler habe ich beim Umformen mittlerweile gefunden. Habe das Quadrat im Nener bei der Masse verschlampt 
Somit wäre der Nenner auch nicht mehr negativ.
erhalte dann für v auch ein wesentlich realistischeres Ergebnis:
v=299793182,3 m/s (mit  und volster Genauigkeit die mein TR hergibt gerechnet^^) Also knapp unter Lichtgeschwindigkeit.
Hätte man dies nicht auch anders lösen können, indem man die Energie-Impuls-Beziehung der spez. Relativitätstheorie nach v (aus dem Impuls) hätte aufgelöst und für E die Lokalisationsenergie eingesetzt?
Wenn ich das so rechne erhalte ich ein etwas höheres Ergebnis als das obige: v=299792457,999999 m/s
also noch dichter an c dran.
/edit
ich wollte mit  rechnen (bei meinen Ansatz über die Energie)
Bei dem mit dem Impuls hätte ich mit 
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Jan 2008 16:33 Titel: |
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| GoTo hat Folgendes geschrieben: |
Bei dem mit dem Impuls hätte ich mit |
Mit dem  wäre ich allerdings nicht so recht einverstanden, das quadratische Addieren zum Gesamtimpuls passt für mich viel besser zu dem, was zum Addieren von Vektoren gelernt habe 
Mit dem Quadrat hast du gleich beide Fehler gefunden, die mir aufgefallen waren, nämlich das Vorzeichen und das Quadrat an der Masse.
Ergebnisse, die so knapp unter der Lichtgeschwindigkeit liegen, werden sicher übersichtlicher, wenn du sie als v/c = ... angibst, vielleicht sogar noch besser als v/c = 1 - ...
| Zitat: |
Hätte man dies nicht auch anders lösen können, indem man die Energie-Impuls-Beziehung der spez. Relativitätstheorie nach v (aus dem Impuls) hätte aufgelöst und für E die Lokalisationsenergie eingesetzt?
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Wie meinst du das genau? Wenn du das alles richtig machst, sollte wohl dasselbe dabei herauskommen. Kommt die kleine Abweichung vielleicht von Fehlerquellen wie dem Faktor 3 bzw 9 im v^2 ? |
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GoTo
Anmeldungsdatum: 08.06.2004
Beiträge: 166
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| GoTo Verfasst am: 20. Jan 2008 17:44 Titel: |
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Jap es kommt das Selbe raus, es liegt an der 3 bzw. 9.
Heißt das quadratische addieren, dass ich in der Impulsformel für  nehmen soll?
Also, dass dann da steht:
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Jan 2008 18:10 Titel: |
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Ja 
Ich halte es bei der ganzen Sache allerdings auch durchaus für denkbar, dass der Aufgabensteller die ganze Sache erstmal einfach nur eindimensional gemeint hat, und dass ihm deshalb eine Abschätzung, die auf  beruht, schon vollkommen reichen könnte.
Denn so genau ist die ganze Abschätzung ja auch wieder nicht gemeint; statt dem Maximalwert von der Grenze des Intervalls  könnte man ja ebenso auf die Idee kommen, einen irgendwie sinnvoll gewichteten Mittelwert so einer Impulsverteilung zu nehmen. Aber ob der dann um einen Faktor von, sagen wir mal, vielleicht Wurzel 2 oder 2 oder 3, von unserer Schätzrechnung abweicht, stört bei so einer Schätzrechnung wohl erstmal keinen |
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GoTo
Anmeldungsdatum: 08.06.2004
Beiträge: 166
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| GoTo Verfasst am: 21. Jan 2008 21:41 Titel: |
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erstmal danke für die letzten Tage 
Ohne dich hätte ich keine Ansatzpunkte gefunden das ganze "richtig" zu rechnen.
Ich denke die Näherung reicht hier. So genau, bis auf die zigste Kommastelle wird das nciht evrlangt sein.
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Average Idiot
Anmeldungsdatum: 19.02.2008
Beiträge: 3
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| Average Idiot Verfasst am: 19. Feb 2008 20:02 Titel: |
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Hallo,
Ich habs gerade hinbekommen, die Herleitung fuer den relativistischen Impuls zu verstehen. Allerdings haben wir im Unterricht folgende Formel zur Bestimmung der Lokalisationenergie gelernt:
wobei hier L dann glaube ich 2r waere ... liesse sich diese Formel auch in diesem Fall verwenden, bzw wenn nicht, warum? Ich hab irgendwie immer komische Ergebnisse bekommen  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 19. Feb 2008 23:41 Titel: |
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| Average Idiot hat Folgendes geschrieben: | Allerdings haben wir im Unterricht folgende Formel zur Bestimmung der Lokalisationenergie gelernt:
wobei hier L dann glaube ich 2r waere ... |
Diese Formel gilt für den nichtrelativistischen Fall, denn sie folgt aus
 , also im Grenzfall 
mit  (und  ; ungefähr gleich wegen dem Unterschied zwischen Kugel und Würfel)
und der nichtrelativistischen Formel für die kinetische Energie
^2}{2m}= \frac{h^2}{8mL^2}) in einer Dimension und
 in drei Dimensionen.
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Für den relativistischen Fall muss man die kinetische Energie auf relativistische Weise aus dem Impuls ausrechnen. Also so wie oben, auch wenn man die Rechnung von oben noch genauer durchführen kann, wenn es einem bei einer solchen Abschätzung auf Faktoren von 2 oder 3 ankommen sollte. |
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
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| bishop Verfasst am: 20. Feb 2008 01:19 Titel: |
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mal eine kurze Rückfrage: Bei der hohen Geschwindigkeit des Elektrons wird dieses ja deutlich schwerer als in Ruhe sein. Somit ist auch das Atom von außen schwerer als ein ruhendes Proton und Elektron? Und wie passt das zusammen, dass eine kovalente Bindung ja irgendwie darauf basiert, dass das System einen energetisch niedrigeren Zustand nimmt, als die einzelnen Komponenten für sich.
Ist der Effekt also so groß, dass das System trotzdem energetisch günstiger ist, auch wenn das Elektron fast mit c da rumsaust?
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. Feb 2008 02:12 Titel: |
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Was meinst du mit "das Atom"? Diese Aufgabe handelt ja nicht von einem typischen Elektron in einem Natrium-Atom, sondern von dem theoretischen Fall, dass man sich vorstellt, ein Elektron sei innerhalb eines Raumes eingesperrt, der nicht größer ist als ein Atomkern.
Und für typische Elektronen in der Elektronenhülle eines Atoms (Durchmesser rund 1 Angström, also um einen Faktor 100000 weniger eng eingesperrt) sind die Lokalisationsenergie und die Massenzunahme (und die Bindungsenergie, die das Elektron dann tatsächlich im Atom bindet) viel kleiner als in dieser Aufgabe.
Wenn man da allerdings sagen will, die Masse des Atoms mit Elektron nehme durch die Lokalisationsenergie = quantenkinetische Energie -> Massenzunahme des Elektrons zu, dann darf man dabei nicht die potentielle Energie vergessen: Denn durch sie (Elektron befindet sich im Coulombpotential des Kerns auf einem niedrigeren Energieniveau, also erfährt das Atom durch den Effekt der Einsparung an Energie in der potentiellen Energie eine Massenerniedrigung) nimmt die Masse des Atoms ab.
Und wenn du dich ans Bohrsche Atommodell erinnerst, dann wissen wir ja schon aus diesen einfachen Berechnungen dieses einfachen Modells, dass die potentielle Energie eines Elektronenzustandes jeweils doppelt so groß ist wie seine kinetische Energie auf der jeweiligen Umlaufbahn nach dem Bohrschen Atommodell.
Also überwiegt der Effekt der Massenerniedrigung durch die potentielle Energie den Effekt der Massenzunahme durch potentielle Energie um das Doppelte, und ein Atom ist deshalb um ein winziges bisschen leichter als die Summe der Massen von Atomrumpf und Elektron. |
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bishop
Moderator
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| bishop Verfasst am: 20. Feb 2008 10:44 Titel: |
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aaah oki, danke schön
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Average Idiot
Anmeldungsdatum: 19.02.2008
Beiträge: 3
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| Average Idiot Verfasst am: 21. Feb 2008 17:03 Titel: |
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@dermarkus: Achso, ja das hab ich nicht bedacht. Vielen Dank. |
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