Gleichverteilung bei unendlichen Mengen - Seite 2

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Jollo2 · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

In welcher Annahme?

Die Mathematik alleine, d.h. meine Formel funktioniert sowohl für endlich als auch unendlich viele Planeten. Nur die Annahmen der "typischen Volumina" zusammen mit endlich vielen Planeten funktioniert nicht. Auch die Annahmen von einer Wahrscheinlichkeit der Entstehung zusammen mit endlich vielen Planeten funktioniert nicht.

Jollo2 · Gast

[/quote]Nur die Annahmen der "typischen Volumina" zusammen mit endlich vielen Planeten funktioniert nicht. Auch die Annahmen von einer Wahrscheinlichkeit der Entstehung zusammen mit endlich vielen Planeten funktioniert nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Es ist letztlich immer das selbe Argument. Wenn du in unendlich vielen Volumina eine Wahrscheinlichkeit p > 0 für Planeten ansetzt, dann erhältst du eine unendliche Zahl N. Wenn du p = 0 ansetzt, dann N = 0. Möchtest du also eine endliches N, dann ist dies mit identischem p > 0 für unendlich vielen Volumina unverträglich. Also setzt du p = 0 in unendlich vielen Volumina, p > 0 in endlich vielen. Letztere sind also nicht typisch.

Jollo2 · Gast

Also nochmal kurz der Reihe nach:

Wenn V= unendlich und p>0, dann erhalte ich die unendliche Zahl N.
Dies führt aber zu dem Problem, dass die Wahrscheinlichkeiten aufsummiert ungleich 1 sind (und auch gegen unendlich konvertieren).

Wenn ich p=0 in V = unendlich setze, ist N=0.

Wo genau liegt nun in dem Beispiel das Problem, wenn V=endlich und p>0? Was meinst du mit nicht typisch?

Sorry, manchmal stehe ich auf dem Schlauch.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Wenn das Volumen des Universums endlich ist, gibt es kein Problem.

Wenn das Volumen unendlich jedoch die Anzahl erdähnlicher Planeten endlich ist, dann muss für eine Unterteilung in unendlich viele extrem jedoch endlich große Volumina V gelten:

Ich nummeriere diese Volumina mit i und teile sie in zwei Gruppen:

so dass die ersten K die erdähnliche Planeten enthalten, die anderen keinen. Die ersten K endlich vielen Summanden über endlich viele Volumina liefern alle endlich viele erdähnliche Planeten.

Unendlich viele Volumina enthalten keine derartigen Planeten, das ist sozusagen typisch. Nur endlich viele enthalten welche, das ist untypisch.

Um Wahrscheinlichkeiten zu betrachten, sei die zweite Gruppe zunächst auch endlich, d.h.

Wählt man aus den K+L Volumina eines zufällig aus, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass es n > 0 bzw. n = 0 erdähnliche Planeten enthält

Im Grenzfall L gegen unendlich folgt

Typische Universen liefern keine derartigen Planeten; das sind "fast alle", nämlich von unendlich vielen alle bis auf endlich viele Ausnahmen.

In diesem Grenzfall dürfen wir auch nicht mehr von Wahrscheinlichkeiten sprechen, denn wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Volumen mit erdähnlichen Planeten Null ist, dann liefert zufälliges Auswählen eines Volumens nie ein solches. Es liegt also ein Widerspruch vor, dass wir zwar K derartige Universen haben, jedoch die Wahrscheinlichkeit, ein solches zufällig aus den unendlich vielen Null ist, wir also nie ein solches auswählen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Einfaches Beispiel:

Wir packen Zweierpotenzen

in eine N-elementige Menge

Die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem zufälligen Ziehen eines Elementes eine ungerade Zahl – also die Zahl Eins – zu erhalten, ist

Im Grenzfall N gegen Unendlich ist

Die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem zufälligen Ziehen eines Elementes eine gerade Zahl – also nicht die Zahl Eins – zu erhalten, ist

Im Grenzfall N gegen Unendlich ist

Die Wahrscheinlichkeit, bei K-maligem Ziehen immer eine gerade Zahl zu erhalten, ist

Die Wahrscheinlichkeit, bei K-maligem Ziehen nicht immer eine gerade Zahl zu erhalten, also mindestens einmal eine ungerade

Wieder im Grenzfall N gegen Unendlich

Das heißt, im Grenzfall N gegen unendlich kann K beliebig groß werden, die "Wahrscheinlichkeit" irgendwann mal die Eins zu ziehen, ist immer Null. Du weißt sicher, dass sie in der Menge drinsteckt, aber du ziehst sie sicher nie, auch nicht, wenn du unendlich oft ziehst (das gar etwas mit der Reihenfolge der Grenzübergänge zu tun).

Man kann mathematisch auch zeigen, dass etwas ähnliches für die rationalen innerhalb der reellen Zahlen gilt. "Zufälliges" Ziehen aus den reellen Zahlen liefert nie rationale Zahlen.

Letztlich sind das zwei Probleme:
A) Aus einer Gleichverteilung über einer endlichen Menge folgt im Grenzfall einer unendlichen Menge, dass dafür keine mit den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung verträgliche Gleichverteilung vorliegen kann.
B) Eine Menge vom Maß Null (die Eins in der Menge unendlich vieler Zweierpotenzen, die rationalen in den reellen Zahlen) hat immer ein Wahrscheinlichkeitsmaß Null.

Jollo2 · Gast

Danke! Dein einfaches Beispiel hat das Verständnis nochmal deutlich gefördert.

Nochmal zum Planetenbeispiel. Wenn sich endlich viele Planeten in einer Menge unendlich vieler Planeten nicht stochastisch darstellen lassen. Bedeutet das dann, dass es unendlich viele erdähnliche Planeten geben muss, da wir sonst einen Widerspruch haben?
Oder einfach, dass sich ein solches Szenario wahrscheinlichkeitstheoretisch einfach nicht abbilden lässt?

Aruna_17 · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Jollo2 · Gast

Danke.

Und leider nochmal ganz blöd gefragt. Gibt es eine andere Verteilung, die bei dem genannten Szenario Sinn ergibt und funktioniert?

Jollo2 · Gast

Und noch eine ernstgemeinte Frage:

Wie kann man denn bei unendlichen Mengen/Volumina überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung empirisch bestimmen?
Ich kann ja nicht unendlich viele Objekte abarbeiten/ in unendlich vielen Versuchen testen. Oder wird dann einfach ganz stumpf extrapoliert?

Jakito · Anmeldungsdatum: 30.05.2024 Beiträge: 162

Jollo2 · Gast

Danke Jakito für die Lösungsansätze. Ich werde mir das mal ganz in Ruhe anschauen. Wie ist das ganze denn zB. in der Quantenmechanik, speziell die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons betreffend. Um den Atomkern ist diese ja in den entsprechenden Orbitalen groß und niemand dann bis ins unendliche ab. Wie kam man hier dazu, die Verteilung bis ins unendliche herzustellen?
Wie gesagt, manchmal kommen bei mir solche Fragen auf, umso schöner, wenn sie so kompetent wie hier beantwortet werden. Danke!

Und falls hierzu (

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Jollo2 · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Sorry, Schreibfehler, hab's korrigiert.

Zum zweiten Punkt: ja.