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Kinetische Energie und Schwerpunkt (Lagrange-Mechanik)
 
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Markus2309



Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 07. Sep 2022 15:32    Titel: Kinetische Energie und Schwerpunkt (Lagrange-Mechanik) Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hi zusammen,

ich rechne gerade eine Aufgabe, es geht um eine Hantel, welche im Gravitationspotential fällt. Die Hantel besteht aus zwei Massenpunkten mit festem Abstand und gleicher Masse. Ziel ist es die Bewegungsgleichung zu finden. In der Lösung wird für die Lagrangefunktion die kinetische Energie des Schwerpunkts bestimmt, anstatt der kinetischen Energien beider Massenpunkte. Aber die kinetische Energie des Schwerpunkts ist doch ungleich der kinetischen Energien aller beteiligten körper? Wie ist das zu begründen, dass man das hier darf?

Meine Ideen:
Meine Idee, war das ganze erstmal als 1D Problem nachzurechnen. Also ich habe mir eine Gerade gedacht, auf der zwei Kästen gleicher Masse mit unterschiedlicher Geschwindigkeit gleiten. Anschließen habe ich die Summer der kinetischen Energien mit der des Schwerpunkts verglichen, es gilt:

T = 1/2 m v_1^2 + 1/2 m v_2^2 \\
R_s = 1/2 (x1 + x2) \\
\dot R_s = 1/2( v_1 + v_2)
T_S = 1/2 (2m) \dot R_s^2 = 1/4 m v_1^2 + 1/2 v_1 \cdot v_2 + 1/4 v_2^2


Man sieht, dass die Gleichheit im Allgemeinen also nicht erfüllt ist. Andererseits gilt die Gleichheit für v_1 = v_2. Diese Bedingung ist denke ich aufgrund der Symmetrie der Hantel erfüllt (gleiche Massen und über Stab gekoppelt), weswegen die Gleichheit verwendet werden darf.

Bestätigung wäre hier sehr nett. (Sry wegen der Formeln, aber irgendwie wollte der das nicht in Latex akzeptieren, sollte aber so verständlich sein)



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Zuletzt bearbeitet von Markus2309 am 08. Sep 2022 11:29, insgesamt 2-mal bearbeitet
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
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Beitrag Mathefix Verfasst am: 08. Sep 2022 10:42    Titel: Antworten mit Zitat

Die Hantelmassen sind gleich und geometrisch identisch. Der Abstand der Masssenmittelpunkte sei a.
Die Verbindungsstange zwischen den beiden Hantelmassen wird als masselos angenommen.

Die Hantel rotiert um ihren Schwerpunkt bei a/2.

Kinetische Energie

Markus2309



Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 08. Sep 2022 11:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Mathefix, danke für deine Antwort, aber sie hat leider nichts mit meiner Frage zu tun und hilft mir dementsprechend nicht weiter
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 08. Sep 2022 11:24    Titel: Re: Kinetische Energie und Schwerpunkt (Lagrange-Mechanik) Antworten mit Zitat

Markus2309 hat Folgendes geschrieben:
Man sieht, dass die Gleichheit im Allgemeinen also nicht erfüllt ist. Andererseits gilt die Gleichheit für v_1 = v_2. Diese Bedingung ist denke ich aufgrund der Symmetrie der Hantel erfüllt (gleiche Massen und über Stab gekoppelt), weswegen die Gleichheit verwendet werden darf.

Kannst Du mal die ganze Aufgabe wiedergeben? Wie ist die Hantel denn gelagert? Bei einer frei fallenden Hantel sind v1 und v2 i.a. nicht gleich. Die kin. Energie kann als Summe aus Translationsenergie des Schwerpunkts und Rotationsenergie um den Schwerpunkt, vgl. Mathefix Beitrag, geschrieben werden.
Markus2309



Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 08. Sep 2022 11:29    Titel: Antworten mit Zitat

Aufgabe und erster Teil der Lösung im Anhang
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 08. Sep 2022 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

In der Musterlösung steht



Neben der kin. Energie der Schwerpunktsbewegung wird die kin. Energie der Drehung um den Schwerpunkt S berechnet.
Markus2309



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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 08. Sep 2022 12:05    Titel: Antworten mit Zitat

Also wird das Problem im Schwerpunktsystem behandelt, weil dort v_1 = v_2 gilt?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5862

Beitrag Myon Verfasst am: 08. Sep 2022 12:32    Titel: Antworten mit Zitat

Das Problem wird nicht im Schwerpunktsystem behandelt, sondern in einem Inertialsystem, wo das Feldzentrum ruht. Aber bei einem starren Körper kann die kinetische Energie in die Translationsenergie des Schwerpunkts und die Rotationsenergie der Drehung um den Schwerpunkt zerlegt werden (siehe hier), und das wurde hier gemacht.
Markus2309



Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 08. Sep 2022 12:48    Titel: Antworten mit Zitat

Ahh ja, da war was. Hatte eigentlich den Theo A Nolting vor 3 Wochen gelesen, ist wohl leider nicht hängengeblieben :/

Danke dir!
Mathefix



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Beitrag Mathefix Verfasst am: 08. Sep 2022 15:46    Titel: Antworten mit Zitat

Markus2309 hat Folgendes geschrieben:
Hallo Mathefix, danke für deine Antwort, aber sie hat leider nichts mit meiner Frage zu tun und hilft mir dementsprechend nicht weiter


Wieso? E_trans hattest Du doch schon berechnet.
Markus2309



Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 08. Sep 2022 15:48    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Frage war nicht: " Hilf mir die Lagrange Funktion zu bestimmen" sondern "Warum haben die die kinetische Energie des Schwerpunkts verwendet und nicht die kinetische Energie beider Massenpunkte"
Mathefix



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Beiträge: 5865
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Beitrag Mathefix Verfasst am: 09. Sep 2022 11:06    Titel: Antworten mit Zitat

Markus2309 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage war nicht: " Hilf mir die Lagrange Funktion zu bestimmen" sondern "Warum haben die die kinetische Energie des Schwerpunkts verwendet und nicht die kinetische Energie beider Massenpunkte"


Trivial: Im Schwerpunkt ist die Ersatzmasse die Summe der Einzelmassen.
Markus2309



Anmeldungsdatum: 01.09.2022
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Beitrag Markus2309 Verfasst am: 09. Sep 2022 11:11    Titel: Antworten mit Zitat

Einfach nur lost
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