Kinetische Energie und Schwerpunkt (Lagrange-Mechanik)

Markus2309 · WhatsApp Image 2022-09-08 at 11.28.38.jpeg

Meine Frage:
Hi zusammen,

ich rechne gerade eine Aufgabe, es geht um eine Hantel, welche im Gravitationspotential fällt. Die Hantel besteht aus zwei Massenpunkten mit festem Abstand und gleicher Masse. Ziel ist es die Bewegungsgleichung zu finden. In der Lösung wird für die Lagrangefunktion die kinetische Energie des Schwerpunkts bestimmt, anstatt der kinetischen Energien beider Massenpunkte. Aber die kinetische Energie des Schwerpunkts ist doch ungleich der kinetischen Energien aller beteiligten körper? Wie ist das zu begründen, dass man das hier darf?

Meine Ideen:
Meine Idee, war das ganze erstmal als 1D Problem nachzurechnen. Also ich habe mir eine Gerade gedacht, auf der zwei Kästen gleicher Masse mit unterschiedlicher Geschwindigkeit gleiten. Anschließen habe ich die Summer der kinetischen Energien mit der des Schwerpunkts verglichen, es gilt:

T = 1/2 m v_1^2 + 1/2 m v_2^2 \\
R_s = 1/2 (x1 + x2) \\
\dot R_s = 1/2( v_1 + v_2)
T_S = 1/2 (2m) \dot R_s^2 = 1/4 m v_1^2 + 1/2 v_1 \cdot v_2 + 1/4 v_2^2

Man sieht, dass die Gleichheit im Allgemeinen also nicht erfüllt ist. Andererseits gilt die Gleichheit für v_1 = v_2. Diese Bedingung ist denke ich aufgrund der Symmetrie der Hantel erfüllt (gleiche Massen und über Stab gekoppelt), weswegen die Gleichheit verwendet werden darf.

Bestätigung wäre hier sehr nett. (Sry wegen der Formeln, aber irgendwie wollte der das nicht in Latex akzeptieren, sollte aber so verständlich sein)

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Die Hantelmassen sind gleich und geometrisch identisch. Der Abstand der Masssenmittelpunkte sei a.
Die Verbindungsstange zwischen den beiden Hantelmassen wird als masselos angenommen.

Die Hantel rotiert um ihren Schwerpunkt bei a/2.

Kinetische Energie

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Hallo Mathefix, danke für deine Antwort, aber sie hat leider nichts mit meiner Frage zu tun und hilft mir dementsprechend nicht weiter

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Aufgabe und erster Teil der Lösung im Anhang

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

In der Musterlösung steht

Neben der kin. Energie der Schwerpunktsbewegung wird die kin. Energie der Drehung um den Schwerpunkt S berechnet.

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Also wird das Problem im Schwerpunktsystem behandelt, weil dort v_1 = v_2 gilt?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5868

Das Problem wird nicht im Schwerpunktsystem behandelt, sondern in einem Inertialsystem, wo das Feldzentrum ruht. Aber bei einem starren Körper kann die kinetische Energie in die Translationsenergie des Schwerpunkts und die Rotationsenergie der Drehung um den Schwerpunkt zerlegt werden (siehe hier), und das wurde hier gemacht.

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Ahh ja, da war was. Hatte eigentlich den Theo A Nolting vor 3 Wochen gelesen, ist wohl leider nicht hängengeblieben :/

Danke dir!

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

Meine Frage war nicht: " Hilf mir die Lagrange Funktion zu bestimmen" sondern "Warum haben die die kinetische Energie des Schwerpunkts verwendet und nicht die kinetische Energie beider Massenpunkte"

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Markus2309 · Anmeldungsdatum: 01.09.2022 Beiträge: 48 Wohnort: Karlsruhe

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