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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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 frage1 Verfasst am: 14. Apr 2022 10:28 Titel: Teilchen im Kasten |
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Hallo!
Es geht hier um die folgende Aufgabe: Ein Elektron befindet sich in einem molekül, das etwa 1.0 nm (etwa 5 Atome) groß ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zwischen x=0 und x=0.2 nm anzutreffen?
Als Lösung kommt hier 0,05 raus, aber ich bekomme ein anderes Ergebnis.
Ich hab hier einfach nur sin^2 intergriert und hab die Grenzen eingesetzt, aber irgendwie scheint das nicht korrekt zu sein. Könnt ihr mir weiterhelfen?
Ich lade meinen Ansatz + die Lösung hier hoch.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
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| Myon Verfasst am: 14. Apr 2022 14:23 Titel: |
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Vorerst: Die angegebene Lösung ist richtig, aber bei der oberen Integralgrenze müsste a/5 statt x stehen.
Zu Deiner Rechnung: Die Integration erfolgte nicht richtig. Die Stammfunktion von sin^2(x) ist gegeben durch
Mittels Substitution erhält man
\,\dd x=\frac{1}{2}x-\frac{a}{2n\pi}\sin(\frac{n\pi}{a}x)\cos(\frac{n\pi}{a}x))
Damit kannst Du die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Grundzustand, n=1, berechnen:
=\frac{2}{a}\,\int_0^{\frac{a}{5}}\sin^2(\frac{\pi}{a}x)\,\dd x)
Zuletzt bearbeitet von Myon am 14. Apr 2022 14:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 15. Apr 2022 08:32 Titel: |
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Vielen Dank für die Hilfe!
Ich hatte Schwierigkeiten beim substituieren. Wie bist du auf a/2npi gekommen?
Normalerweise muss man ja beim substituieren z und dx definieren, aber hier versteh´ich die Substitution nicht wirklich.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 15. Apr 2022 09:16 Titel: |
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Also, wir gehen aus von
Die Stammfunktion erhält man, wenn man partiell integriert und im entstehenden Integral cos^2(x) durch (1-sin^2) ersetzt.
Nun ausführlich mit Integralgrenzen b, c und mit der Substitution
\,\dd x=\frac{a}{n\pi}\int\limits_{n\pi b/a}^{n\pi c/a}\sin^2 u\,\dd u)
\cos(\frac{n\pi}{a}x)\right]_b^c)
oder ohne Grenzen
\,dx=\frac{1}{2}x-\frac{a}{2n\pi}\sin(\frac{n\pi}{a}x)\cos(\frac{n\pi}{a}x))
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 15. Apr 2022 10:21 Titel: |
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Vielen Dank für die Erklärung!
Beim nachrechnen gab es einige Unklarheiten. Warum setzen wir hier für die Integrationsgrenzen n*pi*c/a und n*pi*b/a ein? Müssen wir nicht a/5 und 0 einsetzen? Ich kam beim rechnen leider nicht weiter, bin hier stehen geblieben.
Zuletzt bearbeitet von frage1 am 15. Apr 2022 13:37, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 15. Apr 2022 10:55 Titel: |
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Ja, das sieht jetzt gut aus, bis auf den fehlenden Vorfaktor 2/a, welcher von der Normierung der Wellenfunktion herstammt.
Im letzen Beirag hatte ich den Faktor weggelassen, und die Grenzen b, c dienten nur für die Herleitung von
Die Wahrscheinlichkeit nun mit den Grenzen 0, a/5 und für den Grundzustand n=1:
\,dx=\frac{2}{a}\left[\frac{1}{2}x\right]_0^\frac{a}{5}-\frac{2}{a}\frac{a}{2\pi}\left[\sin(\frac{\pi}{a}x)\cos(\frac{\pi}{a}x)\right]_0^\frac{a}{5})
Die Länge des Kastens a hebt sich überall weg.
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 15. Apr 2022 13:43 Titel: |
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Also so?
Hab´ jetzt überall den fehlenden Vorfaktor ergänzt. Ich hoffe, die Rechnung passt jetzt.
Ich hätte noch eine Frage: Woher wusstest du, dass wir im Grundzustand n=1 sind? Am Anfang war mir nicht klar in welchem Zustand sich das Teilchen befindet.
Und nochmals vielen Dank für die ganzen Erklärungen!
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
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| Myon Verfasst am: 15. Apr 2022 21:04 Titel: |
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Ja, nun sollte die Rechnung stimmen.
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Woher wusstest du, dass wir im Grundzustand n=1 sind? Am Anfang war mir nicht klar in welchem Zustand sich das Teilchen befindet. |
Offen gesagt nahm ich an, dass dies im Aufgabentext stand, aber dass Du diese Angabe im 1. Beitrag irgendwie unterschlagen hattest. Steht es nicht im Aufgabentext, ist es weniger gut. Die Wahrscheinlichkeitsdichte hängt jedenfalls vom Zustand ab, was schon klar wird, wenn man sich die Wellen im unendlich hohen Potentialtopf anschaut. Für n=1 z.B. hat die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Mitte ein Maximum, für n=2 hingegen ist sie dort gleich null.
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jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
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| jmd Verfasst am: 16. Apr 2022 11:46 Titel: |
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Es scheint so zu sein, dass im realen Molekül diese Kastenelektronen immer paarweise als Pi Bindung auftreten
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frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
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| frage1 Verfasst am: 16. Apr 2022 13:46 Titel: |
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Alles klar Myon, vielen Dank!
@jmd, normalerweise steht in der Aufgabenstellung in welchem Zustand sich das Teilchen befindet, nur hier stand der Zustand nicht.[/quote]
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