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TomS
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 TomS Verfasst am: 20. Nov 2021 16:18 Titel: Frage zur Berechnung eines Temperaturgradienten |
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Gegeben sei ein (unendlich ausgedehnter) Zylinder aus einer bekannten Substanz und gegebener Temperatur T_0.
Nun bringt man Boden und Deckfläche mit zwei Temperatur-Reservoirs (wiederum bekannter Substanzen) in Kontakt; dasjenige für den Boden mit T_0 und dasjenige für die Deckfläche mit T_1 > T_0.
Wie berechne ich einfach - oder schätze grob ab - wie sich die Temperatur T(z,t) im Zylinder als Funktion der z-Koordinate sowie der Zeit t entwickelt?
Beispiel: der Zylinder besteht aus Stahl, das untere Reservoir sei Wasser, das obere Luft. |
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Nobby1
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gast_post_#_4324321
Gast
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| gast_post_#_4324321 Verfasst am: 20. Nov 2021 18:51 Titel: |
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Besteht das Probem darin, dass wegen der diskreten Temperaturwerte in Nähe der Grenzflächen ein gegen unendlich gehender Gradient (Wärmefluss) besteht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2021 21:45 Titel: |
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Ich dachte, dass jemand für dieses einfache Problem eine fertige Lösung hat ;-)
Ansonsten muss ich halt selbst rechnen (was nicht schwierig, jedoch wegen der Grenzfläche lästig ist). Einfacher Ansatz ist
mit dem Ansatz
und zunächst ohne Grenzflächen für ein homogenes Material mit Anfangsbedingung
 = T_0)
 = T_1)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 08:39 Titel: |
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Man setzt als Anfangs- und Randbedingungen
 = T_0(x))
 = T_0)
 = T_1)
Dann definiert man
)
und zeigt, dass für diese stationäre Lösung
 = 0 )
 = T_0 + (T_1 - T_0) \frac{x}{d} )
gilt.
Nun definiert man
 = T(x,t) - T_\infty(x) )
mit neuen Anfangs- und Randbedingungen und nutzt die Fouriermethode aus https://en.m.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
 - T_\infty(x)])
 = \sum_{n=1}^\infty \Theta_n \; \sin k_n x \; e^{-k_n^2 at})
 \cdot \frac{(-1)^n}{n\pi})
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Nov 2021 14:52, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 12:04 Titel: Re: Frage zur Berechnung eines Temperaturgradienten |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | … der Zylinder besteht aus Stahl, das untere Reservoir sei Wasser, das obere Luft. |
Und deswegen ist meine Rechnung bisher unrealistisch; die Wärmeübertragung an den beiden Grenzflächen ist wesentlich.
Kennt jemand eine einfache Methode oder eine fertige Lösung? Ich habe schlicht keine Lust auf den ganzen Aufwand.
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2021 12:26 Titel: |
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Ich glaube nicht, dass ich hier etwas beitragen kann was du nicht auch kannst, aber jedenfalls verstehe ich die Randbedingungen nicht: Sind diese so wie du geschrieben hast (d.h. befinden sich Ober- und Unterseite zu allen Zeiten auf T1 und T2 oder geht es um den Wärmeübergang? Im ersteren Fall wäre das ja eine klassische Lehrbuchaufgabe - oder übersehe ich hier was?
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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DrStupid
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| DrStupid Verfasst am: 21. Nov 2021 14:19 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Sind diese so wie du geschrieben hast (d.h. befinden sich Ober- und Unterseite zu allen Zeiten auf T1 und T2 oder geht es um den Wärmeübergang? |
Ich verstehe es als letzteres. Ansonsten wäre es ja nur das Cauchyproblem. Ich habe schon überlegt, ob man das eine auf das andere übertragen kann, aber bisher ist mir dazu noch nichts brauchbares eingefallen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 16:42 Titel: |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | … d.h. befinden sich Ober- und Unterseite zu allen Zeiten auf T1 und T2 oder geht es um den Wärmeübergang? Im ersteren Fall wäre das ja eine klassische Lehrbuchaufgabe - oder übersehe ich hier was? |
Du übersiehst nichts.
Meiner Meinung nach ist für den Fall des Wärmeübergangs zwischen zwei Materialien mein Ansatz eher ungeeignet.
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DrStupid
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2021 17:30 Titel: |
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Genau das hab ich mir auch gedacht. Scheinbar meinst du aber nicht das "einfache" Wärmeleitungsproblem aus dem Lehrbuch für das dritte Semester, schreibst die Randbedingungen aber genau so an, dass man meinen muss, du meinst dieses.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2021 17:46 Titel: |
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Ja, das wäre der Fall, und dafür habe ich ja eine Lösung hergeleitet.
Ich meine aber tatsächlich nicht das das "einfache" Wärmeleitungsproblem, sondern ich möchte Grenzflächen mit berücksichtigen. Deswegen auch meine Aussage
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Meiner Meinung nach ist für den Fall des Wärmeübergangs zwischen zwei Materialien mein Ansatz eher ungeeignet. |
Das ist mir jetzt klar geworden.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Nov 2021 22:07, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 24. Nov 2021 22:59 Titel: |
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Der obige Ansatz ist für das Problem, das mich interessiert - Stahl in Kontakt mit zwei Reservoirs, zum einen mit kaltem Wasser, zum anderen mit heißerer Luft - völlig ungeeignet. Die Dämpfung des transienten Terms mit wachsender Zeit folgt aus
^2}{d^2} a t\right))
Betrachtet man den führenden Term n = 1, eine typische Länge von d = 1 cm sowie typische Werte für die Wärmeleitfähigkeit von Metallen, so erkennt man, dass der transiente Term bereits nach einer Minute vernachlässigbar ist, d.h. dass sich nach kurzer Zeit und in sehr guter Näherung die stationäre Lösung einstellt.
Aber das ist offensichtlich unrealistisch. Zum Beispiel hat mein Ehering nach 15 Minuten Saunieren an der Oberfläche keine Temperatur von 90 Grad (ok, man muss das evtl. mal genauer messen).
Wie schon geschrieben fehlt die Berücksichtigung des Wärmetransportes zwischen heißer Luft und Metall (ineffizient) sowie zwischen Metall und kaltem Wasser (sehr effizient).
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
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| DrStupid Verfasst am: 25. Nov 2021 00:10 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Betrachtet man den führenden Term n = 1, eine typische Länge von d = 1 cm sowie typische Werte für die Wärmeleitfähigkeit von Metallen, so erkennt man, dass der transiente Term bereits nach einer Minute vernachlässigbar ist, d.h. dass sich nach kurzer Zeit und in sehr guter Näherung die stationäre Lösung einstellt.
Aber das ist offensichtlich unrealistisch. Zum Beispiel hat mein Ehering nach 15 Minuten Saunieren an der Oberfläche keine Temperatur von 90 Grad (ok, man muss das evtl. mal genauer messen). |
Dass die Temperatur der Oberfläche nicht der des Wärmereservoirs entspricht, heißt nicht unbedingt, dass sich kein stationärer Zustand eingestellt hat. Ich habe ja vorgerechnet, dass die Temperaturen je nach Wärmeübergang und Wärmeleitung deutlich voneinander abweichen können (wo ist die Rechnung geblieben?).
Vielleicht kan man sich die schnelle Einstellung des stationären Zustandes im Metall zunutze machen, um eine Näherung zu basteln. Wenn man im Metall von einem quasistationären Zustand mit linearem Temperaturverlauf ausgeht, dann sollte die Rechnung deutlich einfacher werden. Solange der Wärmeübergang geschwindigkeitsbestimmend ist, dürfte sich der Fehler in Grenzen halten.
Wenn das zu ungenau ist, dann kann man den Festkörper in mehrere Scheiben mit jeweils linearem Temperaturprofil zerlegen. Es ist schon lange her, dass ich mich mit sowas befasst habe, aber wenn ich mich recht entsinne, dann läuft das auf ein System linearer Differentialgleichung n-ter Ordnung hinaus. |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 26. Nov 2021 06:38 Titel: |
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Ich habe mich nochmal schlau gemacht. Man muss für das Problem sogenannte Robin-Randbedingungen einführen, um ein realistisches Modell zu erhalten.
 = 0; \qquad x \in [x_1,x_2])
Anfangsbedingung
 - T_0\right]_{t=0} = 0)
Randbedingungen für i = 1,2
 - h_i (T_i - T(x,t))\right]_{x=x_i} = 0)
Im vorliegenden Fall setze ich außerdem
Diese Bedingungen liefern den Wärmefluss durch die Oberflächen entsprechend der jeweiligen Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und Reservoir; dies entspricht in etwa dem Newtonschen Gesetz. Damit lassen sich auch unterschiedliche Wärme- bzw. Temperaturübergskoeffizienten h_i berücksichtigen.
Im Ergebnis ist die Temperatur an den Enden i.A. nicht konstant sondern wächst bzw. sinkt mit der Zeit, getrieben durch die Temperatur des jeweiligen Reservoirs. Außerdem herrscht im stationären Zustand i.A. keine Gleichheit zwischen Temperatur auf dem Rand und im benachbarten Reservoir. Das klingt zunächst selbstsam, ist aber letztlich nur ein Artefakt des Reservoirs; für eine noch realistischere Lösung müsste man auch den Wärmefluss im Reservoir selbst betrachten, was zu einer Änderung auch der Temperatur im Reservoir in der Nähe der Grenzfläche und einer stetigen Temperaturverteilung führt.
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