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Gelfandsches Raumtrippel und Quantenmechanik
 
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OmegaPirat
Gast





Beitrag OmegaPirat Verfasst am: 26. Sep 2021 19:12    Titel: Gelfandsches Raumtrippel und Quantenmechanik Antworten mit Zitat

Hallo,
Bekanntlich sind die Eigenzustände des Impulsoperators in Ortsdarstellung keine Elemente des Raums der quadratintegrablen Funktionen. Dieser Raum übernimmt aber die Rolle des Hilbertraums in Ortsdarstellung.
Der Raum der quadratintegrablen Funktionen liegt aber dicht im Raum der temperierten Distributionen und die Eigenzustände des Impulsoperators liegen wohl in diesem Raum.
Eines der Postulate der Quantenmechanik besagt nun, dass ein Quantenzustand durch ein Element eines Hilbertraumes beschrieben wird. Wie lässt sich dieses Postulat auf die Beschreibung mit dem Gelfandschen Raumtrippel übertragen? Sind dann die Eigenzustände des Impulsoperators valide Zustände, obwohl sie nicht quadratintegrabel, wohl aber im Raum der temperierten Distributionen liegen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Sep 2021 15:53    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht in die Richtung, aber man sollte das m.E. als reine Mathematik begreifen. Eine ausführliche Abhandlung dazu findest du hier:

https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0502053.pdf

Die Frage ist, was das genau für die Physik bedeutet. Dazu gibt es m.E. zwei Antworten:

1) Es ist oft naheliegend, "Eigenfunktionen" von Orts- oder Impulsoperator für konkrete Rechnungen zu verwenden; dies wird durch die Gelfand-Tripels auf eine solide Basis gestellt. Siehe dazu oben.

2) Man begegnet oft dem Postulat, dass nach einer Messung einer Observablen, repräsentiert durch einen selbstadjungierten Operator A, an einem System, repräsentiert durch den Zustand psi, ein Messwert a vorliegt, der einem Eigenwert von A entspricht, und dass nach der Messung das System durch den zugehörigen Eigenzustand zu A beschrieben wird. Letzteres entspricht dem von Neumannschen Projektionspostulat



wobei E_a den Projektor auf den Eigenzustand (Eigenraum) zu a beschreibt.

Aber genau das ist hochgradig diskussionswürdig.

(ein gemessenes Photon existiert nicht in einem Energie-Eigenzustand sondern es wurde absorbiert; ein Elektron wird nie exakt einer ebenen Welle entsprechen sondern immer nur einem Wellenpaket, z.B. nach der Ionisierung eines Atoms; es gibt Fälle, in denen das Projektionspostulat nachweislich zu falschen Vorhersagen führt; es gibt Fälle, die gerne mittels des Projektionspostulats erklärt werden, wobei es genau andersherum überhaupt nicht notwendig ist, dieses zu benutzen ...)

Insofern halte ich die Konstruktion für rein mathematisch, da sie an keiner Stelle tatsächlich die physikalische Realität beschreibt; aber mit ebenen Wellen lässt sich halt schön rechnen ;-)

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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