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Optisches Theorem in der Quantenmechanik
 
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schnudl
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Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6758
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Beitrag schnudl Verfasst am: 23. Mai 2021 12:58    Titel: Optisches Theorem in der Quantenmechanik Antworten mit Zitat

Gemäß der einfachen Streutheorie der Quantenmechanik ist die stationäre Lösung der Wellenfunktion weit entfernt von einem Streupotenzial



In einem einführenden Buch (Schwabl Quantenmechanik I) wird nun von einer in z-Richtung einfallenden Welle und einem radialsymmetrischen Streupotenzial ausgegangen und nach einer relativ schwerfälligen Rechnung durch Koeffizientenvergleiche gezeigt



Hier sind die die Streuphasend er l-ten Partialwellen.

Der differentielle Wirkungsquerschnitt in eine Raumrichtung ist dabei das Betragsquadrat dieser Streuamplitude:



Integriert man diesen Ausdruck, dann wird unter Ausnutzung der Orthogonalität der Legendre-Polynome der totale Streuquerschnitt



und damit das optische Theorem gefolgert:



Es besagt (so hätte ich es verstanden), dass die Verminderung der direkten Intesität auf einem Schirm () proportional zur Gesamtstreung sein muss. Soweit leuchtet das ein.

Es wird dann aber gesagt:

Zitat:
Da diese Verminderung gerade den totalen Streuquerschnitt
ergibt, folgt das optische Theorem, gültig auch für nicht sphärische Potentiale.


Ich wunderte mich nun zunächst, wie kompliziert die Herleitung denn für allgemeine, nicht sphärische Potenziale oder gar unelastische Streuung sein müsse, wenn schon die vorliegende "einfache" Herleitung über gute zehn bis 20 Seiten geht und man im Gefecht mit sphärischen Bessel- Neumann- und Hankelfunktionen leicht den roten Faden verliert.

Andererseits habe ich in der englischen Wikipedia einen Stelle gefunden, wo das optische Theorem ganz locker und allgemein in ein paar Zeilen hergeleitet bzw. plausibilisiert wird:

https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_theorem#Derivation

Ich wundere mich nun ein wenig und frage mich, ob die ganze langatmige Rechnung im Schwabl nicht bloß die exemplarisch für ein allgemeineres Vorgehen steht, welches unabhängig von irgendwelchen Potenzialformen und speziellen Funktionen ist. Wäre das dann, was man unter der Theorie der S-Matrix versteht? Falls ja, wie kompliziert ist das und welche Vorkenntnisse braucht man, um das zu verstehen? Ich finde schon den Teil im Schwabl, wenn auch nicht kompliziert, so doch ziemlich umständlich zu verstehen (zumindest könnte ich das selbst nach dem Durchlesen und Verstehen jedes einzelnen Schritts nicht aus dem Stegreif wiedergeben, was mich irgendwie frustriert und ich mich frage, ob ich es denn überhaupt im Kern verstanden habe grübelnd ).

_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2177

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Mai 2021 11:18    Titel: Re: Optisches Theorem in der Quantenmechanik Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Gemäß der einfachen Streutheorie der Quantenmechanik ist die stationäre Lösung der Wellenfunktion weit entfernt von einem Streupotenzial



In einem einführenden Buch (Schwabl Quantenmechanik I) wird nun von einer in z-Richtung einfallenden Welle und einem radialsymmetrischen Streupotenzial ausgegangen und nach einer relativ schwerfälligen Rechnung durch Koeffizientenvergleiche gezeigt




Das ist die sogenannte Partialwellenzerlegung der Streuamplitude. Sie gilt tatsächlich nur wenn der Drehimpuls der einfallenden Teilchen erhalten ist, m.a.W. in einem sphärischen Streupotential.

Das optische Theorem ist aber eine viel fundamentalere Konsequenz aus der Unitarität der S-Matrix. Die Streuamplitude ergibt sich allgemein aus dem "zusammenhängenden" Teil der S-Matrix, d.h. aus S abzüglich der Amplitude der einfallenden Welle



(Für die Vorfaktoren auf der rechten Seite gibt es, soweit ich mich erinnere, verschiedene Konventionenen. Aber die -Funktion muß immer da stehen, weil S mit H vertauscht, also Energieerhaltung gilt.) Die linke Seite ist einfach das Matrixelement des Operators der wegen die Beziehung



erfüllt. Aus dieser Beziehung kann man relativ leicht das optische Theorem ableiten.

Das Matrixelement der linken Seite ergibt, bis auf Vorfaktoren und -Funktion . In Vorwärtsrichtung ergibt sich hier also genau der Imaginärteil der Streuamplitude. Die rechte Seite hat das Matrixelement



Für wird aus dem Integral, wieder bis auf Vorfaktoren, der totale Wirkungsquerschnitt in Vorwärtsrichtung. Das ist das allgemeine optische Theorem. Es ist relativ unabhängig von der Form der Streuamplitude .

Zitat:

Es wird dann aber gesagt:

Zitat:
Da diese Verminderung gerade den totalen Streuquerschnitt
ergibt, folgt das optische Theorem, gültig auch für nicht sphärische Potentiale.


Ich wunderte mich nun zunächst, wie kompliziert die Herleitung denn für allgemeine, nicht sphärische Potenziale oder gar unelastische Streuung sein müsse, wenn schon die vorliegende "einfache" Herleitung über gute zehn bis 20 Seiten geht und man im Gefecht mit sphärischen Bessel- Neumann- und Hankelfunktionen leicht den roten Faden verliert.


Die allgemeine Herleitung ist nicht besonders kompliziert, da man überhaupt keine explizite Darstellung der Streuamplitude benötigt. Die Herangehensweise im Schwabl ist also möglicherweise einfach nicht die geschickteste.
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