Elektrisches Feld und Potenzial

DerNichtPhyisker · Anmeldungsdatum: 25.04.2021 Beiträge: 13

Hallo,

Ich habe eine Aufgabe bei der ich Probleme habe. Sie lautet:
"Betrachtet werden zwei [...] homogene geladene Kugelschalen mit Radius R_1 und R_2. Die innere Kugelschale mit R_1 hat eine Gesamtladung von +Q, die andere -Q."

Berechne Sie das Elektrische Feld für r < R_1 , R_1 < r < R_2 und r > R_2
und das elektrische Potenzial ("Unendliches Potenzial sei auf 0").

Folgende Lösung habe ich berechnet:

r < R_1:

E(r) = (+Q)/(2pi*epsilon_0) * 1/(R_1²)
Potenzial: Phi(r) = (+Q)/(2pi*epsilon_0) * 1/R_1
R_1 < r < R_2
E(r) = (-Q)/(2pi*epsilon_0) * 1/(R_2-R_1)²
Phi(r) = (-Q)/(2pi*epsilon_0) * ln(r_2-r_1)
r>R_2
E(r) = (+Q-Q^(-))/(2pi*epsilon_0) * 1/r²
Phi(r) = (+Q-Q^(-))/(2pi*epsilon_0) * 1/r

Meine Frage : Stimmen meine Ergebnisse?

Danke!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Nein, die Ergebnisse sind nicht richtig. Gut, das E-Feld für r>R2 ist gleich null, das stimmt.

Wie bist Du denn vorgegangen? Das E-Feld erhältst Du jeweils mit dem Gaussschen Gesetz, das Potential durch Integration des E-Felds. Das Potential ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. Oft wird diese so gewählt, dass das Potential im Unendlichen verschwindet (ich sehe gerade, dass das sogar im Aufgabentext vorgegeben ist).

DerNichtPhyisker · Anmeldungsdatum: 25.04.2021 Beiträge: 13

Ich habe das Gauß-Gesetz aufgestellt, wobei ich das elektrische Feld als konstant angenommen habe. Das Flächenelement war einfach die halbe Kugeloberfläche, also 2pi*r².

Für das Potenzial habe ich Phi(r)= integral (E*ds) mit a = r und b = inf.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Die Annahme, dass das E-Feld konstant sei, ist nicht zulässig. Aus der Kugelsymmetrie der Anordnung und da das E-Feld konservativ ist folgt aber, dass das E-Feld nur von r abhängt und in radialer Richtung zeigt, d.h.

Es genügt dann, nur E(r) zu bestimmen.

Um die Kugelsymmetrie auszunutzen, das Gausssche Gesetz immer auf Kugelschalen (natürlich mit gleichem Mittelpunkt wie die geladenen Schalen) anwenden. Es gilt dann

wenn

die Kugeloberfläche mit Radius r und Q(r) die darin eingeschlossene Ladung ist.

DerNichtPhyisker · Anmeldungsdatum: 25.04.2021 Beiträge: 13

Warum ist das Flächenelement die komplette Oberfläche ? Ich dachte es wäre nur die halbe Oberfläche, weil es nur eine Kugelschale ist.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Mit Kugelschale ist die Oberfläche einer ganzen Kugel gemeint.

DerNichtPhyisker · Anmeldungsdatum: 25.04.2021 Beiträge: 13

Okay, danke. Was bedeutet eigentlich R_2 < r < R_1? Ich dachte ich müsste das Elektrische Feld der äußeren Kugelschale berechnen, weswegen ich deshalb R_2-R_1 gerechnet hatte.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Die Anordnung besteht ja aus 2 geladenen Kugelschalen mit Radius R1 und R2.

Das E-Feld soll angegeben werden für die 3 Bereiche
-das Innere der inneren Kugelschale, also für r<R1
-den Raum zwischen den beiden Kugelschalen, also für r zwischen R1 und R2 oder R1<r<R2
-den Raum ausserhalb der äusseren Kugelschale, also für r>R2.

DerNichtPhyisker · Anmeldungsdatum: 25.04.2021 Beiträge: 13

Warum war dann R_2-R_1 falsch? Ich verstehe nicht welchen Radius ich verwenden soll. Das Problem mit dem Flächenelement hat sich geklärt. Ich sehe auch grade, dass in meiner Aufgabe als Titel "Kugelkondensator" stand. Vielleicht hätte ich den Titel lesen sollen, dann wäre das Flächenelement richtig gewesen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Das E-Feld zwischen den beiden Kugelschalen ist nicht konstant, sondern nimmt mit zunehmdem r ab.
Nach dem Gaussschen Gesetz gilt für ein r mit

:

Die letzte Gleichung gilt, da ja für eine Kugelschale zwischen R1 und R2 die eingeschlossene Ladung immer gleich +Q ist, die Ladung der inneren Kugelschale.
Die obige Gleichung einfach noch nach E(r) auflösen, dann ist das die Lösung für den 2. Bereich.

DerNichtPhyisker · Anmeldungsdatum: 25.04.2021 Beiträge: 13

Ich werde daraus nicht schlau. Dann unterscheiden sich die Bereiche nur über die Vorzeichen. Das heißt, dass es für r > R_2 gleich aussehen wird, nur dass ich die Ladung (+Q-Q^(-)) nehmen muss. Richtig?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Nur kurz: im 2. Bereich, zwischen den beiden Kugelschalen, gilt also

Für r<R1 und r>R2 ist die eingeschlossene Gesamtladung dagegen jeweils gleich null, deshalb gilt in diesen Bereichen nach dem Gaussschen Gesetz auch E(r)=0.