Mikrokanonisches Ensemble

Fisiker · Gast

Meine Frage:
Guten Abend liebe Physik-Freunde,

mir bereitet eine Aufgabe aus der statistischen Physik Probleme und ich hoffe, ich finde hier Anregungen, die mir weiterhelfen.

Es geht um das statistische Gewicht, welches man für N harmonische Oszillatoren im 3 dimensionalen berechnen soll. Also ist die Anzahl der Zustände des Systems mit der Energie E und E+deltaE gesucht. Gegeben ist der Hamiltonian des harmonischen Oszillators.
Mit h ist h quer gemeint.
Mit dem folgenden Hamiltonian und der Definition des statistischen Gewichts möchte ich arbeiten:
Also:

Meine Ideen:
Zunächst habe ich mir das Vorgehen für ein freies Teilchen angeguckt. Also für einen Hamiltonian, der analog zu dem obigen ist, nur ohne Potential.
de.wikibooks.org/wiki/Statistische_Mechanik/_Mikrokanonische_Ensemble
Auf dieser Seite wird das Vorgehen, wie ich finde, sehr gut beschrieben.
Bei mir hapert es nun schon an den Grenzen für q und p.
Beim freien Teilchen wurde die Annahme getroffen, dass 0<=q=<L ist, womit sich sofort ein Volumen hoch N ergibt, da H kein q enthält.
Die Grenzen für den Impuls konnte man aus dem Hamiltonian zu einem Radius einer Kugel umformen, so dass man am Ende ein Volumen einer 3N-dimensionalen Kugel bekommen hat.
Meiner erster Gedanke für den gegeben Hamiltonian war es analog zum freien Teilchen vorzugehen. Möchte man jedoch die Grenzen aus H für p bestimmen hat man eine zusätzliche q-Abhängigkeit in der Grenze. Daduruch wird das anschließende integrieren nach q komplexer. Jedoch wüsste ich anschließend nicht, welche Grenzen man nehmen muss. Ob auch wieder 0<=q=<L?
Ein anderer Gedanke war es, die "Form" des harmonischesn Osz. im Phasenraum zu betrachten. Für einen 1d harm. Osz. ergibt sich eine Ellipse. Ob man hier eventuell ansetzen muss bzgl. der Umformung der Grenzen/des Hamiltonian oder der Koordinaten.

Wie ihr merkt, tappe ich noch ziemlich im dunkeln.

Ich bin dankbar für jede Anmerkung.

Grüße

Fisiker

Darth Lachris · Gast

Du musst neue Variablen definieren:

Denn dann wird aus

Das kannst du dann als 2N-diemsnioanle Hyperkugel wie bekannt betrachten.