Ensemble

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

Zwei Dinge sind mir grad echt nicht klar:

1) Wie kann man sich anschaulich klar machen, dass das Ensemble eines Systems im thermodynamischen Gleichgewicht eine zeitunabhängige Verteilung im Phasenraum besitzt und das Ensemble eines Systems, das sich nicht im Gleichgewicht befindet, eine zeitabhängige?

2) Ist ein isoliertes System, also ein System mit konstanter Teilchenzahl, exakt konstanter Energie und konstantem Volumen immer im thermodynamischen Gleichgewicht?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

1. Ich weiß nicht, wie das anschaulich geht. Ich stelle mir da immer ein 2-dim.-Gitter und ein paar bunte Farben vor, die ständig wechseln, was die Teilchen sein sollen, die da durch den Phasenraum huschen. Big Laugh

Also ich finde das ziemlich anschaulich, kann aber nicht begründen wieso. Meine aber, das folgt aus der Liouville-Gleichung:

Wenn das System im Gleichgewicht ist, wird die Poissonklammer verschwinden.

2. Warum sollte das so sein?

Sirius · Anmeldungsdatum: 22.11.2008 Beiträge: 119

zu 2)

Ich komme bei einem solchen System gedanklich zu einem Widerspruch.

Angenommen das System (ich nehme ein klassisches an) habe s Freiheitsgrade und werde durch eine Hamiltonfunktion

beschrieben. Die Bahn des Systems im Phasenraum bekomme ich dann ja rein theoretisch durch Lösung der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen mit Anfangsbedingungen. Da man aber in der Realität weder die Anfangsbedingungen kennt, noch die Bewegungsgleichungen lösen kann, weiß man zunächst nur, dass sich der Punkt im Phasenraum irgendwie auf einer (2s-1)-dimensionalen Fläche bewegen wird (

). Nun sagt aber die Ergodenhypothese, dass ein solches System - wartet man nur lange genug - jeden Punkt dieser Fläche auf jeden Fall durchlaufen wird.
Fakt ist ja, dass der Anfangszustand des Systems (sei es ein Gleichgewichtszustand oder ein Nichtgleichgewichtszustand) auf jeden Fall immer einem Zustand auf dieser (2s-1)-dimensionalen Fläche entspricht. Nehme ich nun an, dass das System am Anfang in einem GG-Zustand war, so folgt für mich aus der Ergodenhypothese, dass es irgendwann jeden anderen Zustand auf der (2s-1)-dimensionalen Fläche im Phasenraum erreichen wird, also auch Nicht-GG-Zustände. Wie passt das nun zu der Aussage, das Systeme im thermodynamischen GG bleiben, solange kein Einfluss von außen stattfindet? Daher war meine Annahme, dass es in isolierten Systemen keine Nicht-GG-Zustände gibt.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich meine, dass man einem Zustand nicht zuschreiben kann, ob er ein Gleichgewichtszustand ist oder nicht. Gleichgewicht sagt ja nur etwas über die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum.

Allerdings muss ich zugeben, dass ich gerade die Vermutung bekomme, dass die Aussage trotzdem stimmt. Mal darüber nachdenken...

Hilfesuchender · Gast

Hallo

zu1:
Das ist nicht richtig. Schließlich gibt es stationäre Nicht-Gleichgewichtssysteme. Stell dir bspw. einen Ring vor in dem sich Teilchen in einem konstanten Fluss im Uhrzeigersinn bewegen. So ein System hat eine zeitunabhängige Mikrozustandsverteilung und ist kein Gleichgewichtszustand. Ich würde den Gleichgewichtszustand so formulieren:

Ein System befindet sich in einem Gleichgewicht, wenn die mit den systembeschreibenden Makroobservablen assoziierten Ströme verschwinden.

zu 2: Ein System welches du sich selbst überlässt strebt immer in einen Gleichgewichtszustand, wenn es die Möglichkeit hat Energie zu dissipieren. Wenn es in dem oben genannten Ringsystem keine Reibung gäbe, würde es immer in diesem Zustand bleiben, normalerweise gibt es aber eine innere Reibung durch die die mit dem Teilchenstrom verbundene kinetische Energie in Wärme dissipiert.

zu deiner anderen Überlegung:
Die Ergodenhypothese ist im Allgemeinen nicht richtig. Man ersetzt sie durch die weniger strenge Quasi-Ergodenhypothese. Demnach erreicht ein System mit der Zeit nicht jeden Zustand, nähert sich aber jedem Zustand beliebig nahe an. Auch das ist meines Wissens nach nicht richtig. Systeme in denen dies nicht richtig ist, heißen Nicht-Ergodische-Systeme.
Nun zu deinem eigentlichen Problem. Genauer muss es heißen, dass jeder mit den Makroobservablen verträgliche Zustand erreicht wird. Wenn du beispielsweise ein isoliertes System hast, ist die innere Energie U konstant. Ein Mikrozustand mit einer Energie U2>U ist nicht erlaubt.
Im Prinzip könnte sich ein im Gleichgewicht befindliches Gas zufällig mit einer Wahrscheinlichkeit nahe 0 spontan auf ein kleineres Raumvolumen zusammenziehen und es befindet sich immer noch im Gleichgewichtszustand.
In diesem Fall ist für den Gleichgewichtszustand charakterisierend, dass jedes Ensemblemitglied gleichwahrscheinlich ist. Wenn du bspw. das Gas zur Zeit t=0 präparierst indem du es auf ein kleineres Volumen zusammendrückst und dann wieder ausdehnen lässt, sind die Ensemblemitglieder durch einen Einfluss nicht mehr gleichwahrscheinlich. Es dauert eine gewisse Zeit bis dies wieder der Fall ist und das System nichts mehr von deiner Einflussnahme weiß. Ein spontanes Zusammenziehen hat keinen Einfluss auf die Mikrozustandsverteilung. Dass ein Gas in der Regel im Gleichgewicht homogen ist, liegt einfach daran, dass es viel mehr Ensemblemitglieder gibt bei denen dies der Fall ist als welche bei denen sich das Gas auf einen kleineren Raum zusammengezogen hat.