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Anna Dratani
Gast
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 Anna Dratani Verfasst am: 28. Apr 2021 20:02 Titel: Entropie N unterscheidbarer Punktteilchen |
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Meine Frage:
Guten Abend, ich beschäftige mich derzeit mit Entropie und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:
Wir haben N unterscheidbare Punktteilchen, die nicht miteinander wechselwirken. Jedes Teilchen befindet sich entweder in einem Zustand mit Energie  oder  , wobei letzteres ungleich 0 ist. Außerdem soll N sehr groß sein.
Zuerst suche ich die Anzahl der Mikrozustände )
Anschließend will ich die Entropie S(E) im Gleichgewichtszustand berechnen, sowie die Temperatur, die gegeben ist durch
=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)^{-1})
Meine Ideen:
Der erste Teil sollte nicht schwer sein, das ist ja einfach der Binomialkoeffizient:
=\frac{N!}{n!(N-n)!})
Für den zweiten Teil der Aufgabe hatte ich mir überlegt, dass ich wahrscheinlich am besten
=k_Bln(\Omega (E)))
benutze.
Der Gleichgewichtszustand sollte meines Wissens nach der wahrscheinlichste Zustand sein. Da jedes Teilchen 2 Zustände annehmen kann, sollten ja im Mittel in beiden Zuständen N/2 Teilchen sein, also ist n=N/2 am wahrscheinlichsten.
Ich habe also
=\frac{N!}{(\frac{N}{2}!)^2})
Da in der Angabe extra stand, dass N groß ist, nehme ich an, ich muss jetzt die Stirling Näherung verwenden, damit erhalte ich dann grob:
^N)
Damit bekomme ich
=\frac{2^{2N}e^N}{N^N})
Joa, also falls das stimmt, weiß ich nicht so ganz, wie mich das weiterbringt. Weil da ist ja keinerlei Energieabhänigkeit drin, also ergibt die Formel für die temperatur dann keinen Sinn.
Irgendwo hab ich hier Mist gebaut, kann mir jemand sagen wo? Oder am besten gleich, wo hier meine Energieabhängigkeit ist.
Ich hatte noch
probiert, aber N ist ja auch nicht Energieabhängig. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5041
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| DrStupid Verfasst am: 28. Apr 2021 23:32 Titel: Re: Entropie N unterscheidbarer Punktteilchen |
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| Anna Dratani hat Folgendes geschrieben: | | Der Gleichgewichtszustand sollte meines Wissens nach der wahrscheinlichste Zustand sein. Da jedes Teilchen 2 Zustände annehmen kann, sollten ja im Mittel in beiden Zuständen N/2 Teilchen sein, also ist n=N/2 am wahrscheinlichsten. |
Das gilt nur, wenn die Zustände  und  gleich wahrscheinlich sind. Damit ist an dieser Stelle wohl auch die Energieabhängigkeit verloren gegangen. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Apr 2021 02:48 Titel: |
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Hi,
es bezeichnet im Folgenden m die Zahl der Teilchen im Zustand und n die Zahl der Teilchen im Zustand . Es gilt folglich:
Die Energie des Systems ist gegeben durch
Und die Zahl der Mikrozustände zum Makrozustand mit der Energie E ist wie bereits von dir richtig angegeben:
Für die Entropie gilt damit mit Hilfe der Stirling-Näherung für große N, m und n:
\\&=&\ln(N!)-\ln(n!)-\ln(m!)\\&\approx &N\ln\left(\frac{N}{e} \right) - n\ln\left(\frac{n}{e} \right) - m\ln\left(\frac{m}{e} \right)\\&=&-N\left(\frac{n}{N}\ln \left(\frac{n}{N}\right) + \frac{m}{N}\ln \left(\frac{m}{N}\right)\right)\\&=&N \left(x\ln(x) + (1-x)\ln(1-x)\right))
mit x := n/N. Wegen
ist x eine Funktion von E.
Nun können wir die (inverse) Temperatur T berechnen. Man erhält:
 )
Interessanterweise gilt für das Verhältnis der Besetzungszahlen:
Viele Grüße,
Nils |
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Anna Dratani
Gast
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| Anna Dratani Verfasst am: 29. Apr 2021 08:14 Titel: |
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Vielen Dank, das leuchtet ein. Aber eine Frage noch: Wo fließt denn dann ein, dass man die Entropie und Temperatur S(E) im Gleichgewichtszustand berechnen soll? Das hat mich nämlich an der Aufgabe etwas verwirrt. Denn der Gleichgewichtszustand ist ja gerade der, bei dem die Entropie maximal ist, aber dann wäre die Ableitung der Entropie nach der Energie doch 0 und damit die temperatur unendlich groß? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 29. Apr 2021 12:13 Titel: |
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Ein thermodynamisches Gleichgewicht liegt vor, wenn sich die makroskopischen Größen, die das System beschreiben nicht mehr ändern. Dies ist der Fall, wenn es keine makroskopischen Wärme- oder Teilchenflüsse über die Systemgrenze gibt. Es gibt allerdings verschiedene Arten von Gleichgewichtszustände, ne nach dem welche Wechselwirkung mit der Umgebung möglich sind.
Wäre das System thermisch abgeschlossen, so wäre in der Tat im thermodynamischen Gleichgewicht die Entropie maximal. Aus dem Kontext der Aufgabe entnehme ich allerdings, dass es sich hierbei um ein System handelt, das mit seiner Umgebung Wärme austauschen kann. In diesem Fall ist der Gleichgewichtszustand nicht durch die maximale Entropie gegeben, sondern durch das Minimum der sogenannten freien Energie F.
Viele Grüße,
Nils |
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Anna Dratani
Gast
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| Anna Dratani Verfasst am: 30. Apr 2021 08:51 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Ein thermodynamisches Gleichgewicht liegt vor, wenn sich die makroskopischen Größen, die das System beschreiben nicht mehr ändern. Dies ist der Fall, wenn es keine makroskopischen Wärme- oder Teilchenflüsse über die Systemgrenze gibt. Es gibt allerdings verschiedene Arten von Gleichgewichtszustände, ne nach dem welche Wechselwirkung mit der Umgebung möglich sind.
Wäre das System thermisch abgeschlossen, so wäre in der Tat im thermodynamischen Gleichgewicht die Entropie maximal. Aus dem Kontext der Aufgabe entnehme ich allerdings, dass es sich hierbei um ein System handelt, das mit seiner Umgebung Wärme austauschen kann. In diesem Fall ist der Gleichgewichtszustand nicht durch die maximale Entropie gegeben, sondern durch das Minimum der sogenannten freien Energie F.
Viele Grüße,
Nils |
Hab nochmal nachgeschaut, in dem Fall sollte im Gleichgewicht heißen, dass alle möglichen Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind. wo hast du das bei deinem Weg berücksichtigt? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Apr 2021 13:54 Titel: |
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Das wurde letztendlich in der Formel für die Entropie
)
berücksichtigt. Hätten die einzelnen Mikrozustände unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, könnte man die Entropie des Systems nicht so einfach aus der Zahl der Realisierungsmöglichkeiten berechnen.
Trotzdem folgt daraus nicht, dass sich im Gleichgewichtszustand 50% der Teilchen im Zustand und die anderen 50% im Zustand befinden. Denn die (mittlere) Zahl n der Zustände im Zustand ist wegen
durch die Gesamtenergie E des Systems festgelegt.
Viele Grüße,
Nils |
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Anna Dratani
Gast
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| Anna Dratani Verfasst am: 30. Apr 2021 14:47 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Das wurde letztendlich in der Formel für die Entropie
berücksichtigt. Hätten die einzelnen Mikrozustände unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, könnte man die Entropie des Systems nicht so einfach aus der Zahl der Realisierungsmöglichkeiten berechnen.
Trotzdem folgt daraus nicht, dass sich im Gleichgewichtszustand 50% der Teilchen im Zustand und die anderen 50% im Zustand befinden. Denn die (mittlere) Zahl n der Zustände im Zustand ist wegen
durch die Gesamtenergie E des Systems festgelegt.
Viele Grüße,
Nils |
AH, jetzt ergibt es Sinn. Das, was mich gestört hatte, war, dass, wenn alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind, ja der Wert n einen beliebigen Wert zwischen 0 und N einnehmen kann, aber im Omega nicht die Summe über alle n sondern nur ein n stand, aber gerade in dem n steckt ja die Energieabhängigkeit, die verloren ginge, wenn man aufsummieren würde.
Ich glaube ich hatte dann die Aufgabenstellung gar nicht richtig verstanden, weil man geht ja hier dann davon aus, dass eine bestimmte Energie vorliegt, bzw. man bestimmt nicht die Entropie für alle möglichen Zustände beliebiger Energien, sondern man schaut, was die Zustandszahl in Abhängigkeit der Energie ist und bestimmt somit den Entropieverlauf für die verschiedenen Energien (also den verlauf in Abhängigkeit der Energien), oder?
Wenn das so ist, dann danke für die Hilfe  |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 30. Apr 2021 16:03 Titel: |
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| Anna Dratani hat Folgendes geschrieben: |
Ich glaube ich hatte dann die Aufgabenstellung gar nicht richtig verstanden, weil man geht ja hier dann davon aus, dass eine bestimmte Energie vorliegt, bzw. man bestimmt nicht die Entropie für alle möglichen Zustände beliebiger Energien, sondern man schaut, was die Zustandszahl in Abhängigkeit der Energie ist und bestimmt somit den Entropieverlauf für die verschiedenen Energien (also den verlauf in Abhängigkeit der Energien), oder?
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Ja genau! Man bestimmt letztendlich die Entropie als Funktion der Energie E.
Viele Grüße,
Nils |
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Anna Dratani
Gast
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| Anna Dratani Verfasst am: 30. Apr 2021 23:05 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Das wurde letztendlich in der Formel für die Entropie
berücksichtigt. Hätten die einzelnen Mikrozustände unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, könnte man die Entropie des Systems nicht so einfach aus der Zahl der Realisierungsmöglichkeiten berechnen.
Trotzdem folgt daraus nicht, dass sich im Gleichgewichtszustand 50% der Teilchen im Zustand und die anderen 50% im Zustand befinden. Denn die (mittlere) Zahl n der Zustände im Zustand ist wegen
durch die Gesamtenergie E des Systems festgelegt.
Viele Grüße,
Nils |
Hierzu noch eine Frage: Wenn ich jetzt die mittlere Besetzungszahl bestimmen wollen würde, wie würde ich das dann machen?
Meine Idee wäre dazu, dass ich ja weiß, dass jeder Mikrozustand gleich wahrscheinlich ist.
Insgesamt gibt es ja  Mikrozustände, da jedes der N Teilchen in einem der beiden Zustände sein kann. Also ist ja die Wahrscheinlichkeit für einen der Mikrozustände  . Dann wäre der wahrscheinlichste Zustand der, bei dem !}) den größten Wert annimmt, das wäre dann wieder N/2. ABER nach dem, was hier in den Antowrten besprochen wurde, wäre das ja falsch, aus den schon besprochenen Gründen.
Aber wie soll man dann die mittlere Besetzungszahl rausfinden? Wenn ich einen bestimmten Energiewert habe, dann steht ja n bereits fest, so dass ein Mittelwert keinen Sinn ergibt. |
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Anna Dratani
Gast
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| Anna Dratani Verfasst am: 30. Apr 2021 23:14 Titel: |
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Oder kann ich das irgendwie mit der Zustandssumme machen? Dann würde ich versuchen mit der Zustandssumme die mittlere Energie zu berechnen und durch E=n*epsilon hätte man dann ja direkt die mittlere zustandsdichte. Aber da müsste ich ja bei jeder energie n*epsilon als vorfaktor den ganzen jeweiligen binomialterm nehmen das wäre dann aj au umständlich und kanns dann doch irgendwie auch nicht sein. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 01. Mai 2021 00:18 Titel: |
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Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Die mittlere Besetzungszahl n ist doch über E = n*epsilon bereits festgelegt. |
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Anna Dratani
Gast
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| Anna Dratani Verfasst am: 01. Mai 2021 01:57 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Die mittlere Besetzungszahl n ist doch über E = n*epsilon bereits festgelegt. |
Naja, man kann ja ne mittlere Energie bilden, der dann wiederum ne mittlere Besetzungszahl entspricht. Also wenn man den mittleren Energiewert des gesamten Spektrums betrachtet. So meinte ich das. |
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