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Potential der Spin-Spin Wechselwirkung bestimmen
 
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Salzlachs
Gast





Beitrag Salzlachs Verfasst am: 18. Jan 2021 18:12    Titel: Potential der Spin-Spin Wechselwirkung bestimmen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Guten Nachmittag.

Ich habe zwei identische Fermionen mit Spin 1/2 und der Masse m, deren Wechselwirkung untereinander durch folgendes Potential gegeben ist:

Die Sigmas beschreiben den Spin von Teilchen 1, bzw. Teilchen 2.
Über die Variablen
und
ist folgendes bekannt:


Außerdem seien
und positiv.
Es wird folgende Annahme getroffen:
Das System besteht aus zwei gebundenen und nicht-entarteten Null-Energie-Zuständen mit
und


Die Aufgabe ist: Bestimme die Werte von
und .

Meine Ideen:
Mein bisheriges Vorgehen:

1. Hamilton-Operator aufstellen:


Da ich ja nur die zwei Teilchen und deren Wechselwirkung betrachte, kann ich ja
und einfach gleich 0 setzen und erhalte somit als Hamilton-Operator:



So weit, so gut.

2. Eigenzustand aufstellen:
Durch die Angabe wissen wir, dass wir zwei Zustände mit den Drehimpulsquantenzahlen 0 und 1. Außerdem haben wir 2 identische Fermionen, weshalb ich hier die Slaterdeterminante benutzen würde, hier stoße ich auf das erste Problem: Ich weiß nicht, was in der Aufgabe mit Null-Energie-Zustand gemeint ist, für die Slaterdeterminante enhme ich an, dass damit der für die Quantenzahlen niedrigste Energiezustand gemeint ist, also n=1.



Wobei das ALpha und das Beta für den Spin Up, bzw Spin Down Spinor stehen. Hier ergibt sich für mich die Frage, was mit der Quantenzahl
hier geschieht, da die Zustände ja nicht entartet sein sollen. Ist sie gleich 0? Also bei l=0 ist ja klar, dass sie 0 sein muss, aber wie ist das bei l=1 hier?

Und hier ist auch der Punkt erreicht, an dem ich nicht weiterkomme. Sind meine Phi einfach ein-Elektron Wasserstoffzustände oder was? Und wie wirken die Sigma Vektoren auf meine Spinoren? Stimmt überhaupt, was ich hier gemacht habe?

ZUSAMMENFASSUNG MEINER PROBLEME:

1. Kann ich die beiden gleich 0 setzen?
2. Ist meine Interpretation eines "Null-Energie-Zustands" richtig? Also, dass n=1 ist?
3. Ist m auch bei l=1 0? Falls nein, was muss ich ausbessern?
4. Welche Form haben die Phi-Zustände? Entsprechen sie den Wasserstoffzuständen? Falls ja, wie soll das gehen, sie sind ja an kein Atom gebunden oder doch?
5. Wie wirken die Sigma Spin Vektoren auf die Spinoren meines aufgestellten Zustands?
6. Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?

Danke für die Hilfe!

LaTeX repariert. Steffen
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13529

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Jan 2021 22:29    Titel: Antworten mit Zitat

Wie lautet den die Originalaufgabe? Kannst du das einstellen?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Salzlachs
Gast





Beitrag Salzlachs Verfasst am: 19. Jan 2021 00:10    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Wie lautet den die Originalaufgabe? Kannst du das einstellen?


Das, was bei "Meine Frage" steht, ist bereits die Originalaufgabenstellung in meinen eigenen Worten. Man soll U und V bestimmen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13529

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jan 2021 08:09    Titel: Antworten mit Zitat

Es ist neben dem von dir genannten Potential kein weiteres angegeben, deswegen würde ich auch keines einführen.

Der spinunabhängige Potentialterm liefert einen attraktiven Potentialtopf, kein -1/r. Deswegen liegen keine Wasserstoffzustände vor.

Für r > a handelt es sich um freie und ungekoppelte Kugelwellen. Der Separationsansatz funktioniert wie im Falle des Wasserstoffatoms, d.h.



Omega steht für die Winkel theta und phi.

Für jedes Teilchen gilt einzeln



Der Spinor ist beliebig, da der Hamiltonian für r > a spinunabhängig ist.

Für r < a handelt es sich um ein rein über den Spin gekoppeltes System. Du kannst jedoch zunächst das Problem ohne diese Wechselwirkung lösen, d.h.





Das liefert einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen für r < a. Diese nutzt du für den Ansatz der Eigenfunktionen zum vollständigen Problem inkl. der Wechselwirkung.

Mit u und v konstruierst du dann die Slater-Determinante im Innen- sowie im Außenraum. Für letzteres ist das mit beliebigen Spinoren bereits die gesuchte Lösung, für ersteres musst du nun die volle Schrödingergleichung inkl. der Wechselwirkung lösen; das sollte auf ein lineares Gleichungssystem für die Spinoren führen.

Was ich noch nicht verstehe ist der Begriff “Null-Energie-Zustand”. Damit könnte der Grundzustand gemeint sein, also n = 0. Vermutlich wird sich herausstellen, dass das System überhaupt nur einen oder zwei (? s.u.) gebundenen Zustände hat (die Anzahl der gebundenen Zustände hängt von der Tiefe des Topfes ab). Möglicherweise muss man dazu irgendwann verwenden, dass die Energie E = 0 sein soll, um damit U und V zu bestimmen.

Was mich auch irritiert ist, dass das System nicht entartet sein soll. Wenn ich l als Bahndrehimpuls interpretiere, dann ist der Zustand zu l=1 mit m = -1, 0, +1 natürlich dreifach entartet. Außerdem sind die Zustände zu l=0 und l=1 ebenfalls entartet. Evtl. ist dieses l als Gesamtspin zu interpretieren, aber das wäre sehr seltsam.

Möglicherweise lösen sich einige dieser Fragen im Zuge der Rechnung. Der o.g. Absatz sollte erst mal funktionieren.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13529

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Jan 2021 08:59    Titel: Antworten mit Zitat

Das Problem des Potentialtopfs ohne Spin findest du z.B. hier:

https://edu.itp.phys.ethz.ch/hs15/QMI/qm1_skript.pdf#page164

Ich habe aber die Vermutung, dass du evtl. um die explizite Lösung der Radialgleichungen herumkommst, wenn du die Bedingung E = 0 verwendest.

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