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Nachricht |
Sehr_verzweifelt
Gast
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 Sehr_verzweifelt Verfasst am: 05. Dez 2020 21:04 Titel: Rad oder Zylinder mit ungleicher Massenverteilung |
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Meine Frage:
Hi,
ich googel seit 1 Stunde(!) nach einer Beschreibung eines rollenden Rades oder Zylinders, das homogen ist und an einer Stelle einen Zusatzmassenpunkt hat.
Meine Ideen:
Wenn dieses Rad/ dieser Zylinder rollt, dann rollt er ja nicht gleichmäßig, sondern abhängig davon, wo dieses Zusatzmasse ist.
Bitte helft mir. Hat denn so ein Rad einen Namen? Ich brauche irgendwelche Stichworte, damit ich googeln kann...
Danke! |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 05. Dez 2020 21:14 Titel: |
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Diese Zusatzmasse nennt sich „Unwucht“. Was genau willst du beschreiben?
Nils |
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Sehr_verzweifelt
Gast
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| Sehr_verzweifelt Verfasst am: 05. Dez 2020 21:20 Titel: |
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Es geht um eine Scheibe, die eine homogene Massenverteilung hat bis auf einen Punkt am Rand. Dort ist ein zusätzlicher Massenpunkt.
Die Scheibe rollt. Da der Schwerpunkt nicht im Mittelpunkt ist, müsste die Scheibe mal langsamer, mal schneller rollen.
Jetzt brauche ich irgendwas (Kräfte, Drehmoment, mir egal), um diese Bewegung näher beschreiben zu können. Aber ich finde NICHTS! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 05. Dez 2020 22:48 Titel: |
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Naja, die Geschwindigkeit in Abhängigkeit des zurückgelegten Winkels/der zurückgelegten Strecke ergibt sich ja relativ einfach aus der Energieerhaltung (die Rotationsenergie von Rad plus Zusatzmasse ist erniedrigt um die potentielle Energie der Zusatzmasse).
Schwieriger wäre die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit. Man könnte eine Differentialgleichung aufstellen, etwa so
also
Falls die Abhängigkeit ) gesucht ist, wäre es wohl einfacher, diese numerisch zu berechnen. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2020 09:39 Titel: |
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Mein Ansatz:
 + I\cdot \ddot{\varphi } )
phi = Drehwinkel zur Vertikalen
)
 + r \cdot (\frac{m_z}{2}+ m)\cdot \ddot{\varphi } = 0 )
+ b \cdot \ddot{\varphi } = 0 )
Wolfram Alpha lieferte in der Standard Rechenzeit keine Lösung der DGL. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 07. Dez 2020 12:55 Titel: |
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In meinem obigen Beitrag fehlte die kinetische Energie der Translationsbewegung. An der Form der Gleichungen ändert sich dadurch aber nichts.
Die Gleichung mit dem Drehimpuls wäre richtig, wenn das Rad sich frei um eine feste Achse drehen würde. Rollt das Rad, gilt sie nicht, denn die Unterlage übt ein Drehmoment bezüglich der Radachse aus (das Rad wird periodisch beschleunigt und abgebremst, von der Unterlage muss also eine tangentiale Kraft auf das Rad wirken).
Man könnte den Drehimpuls bezüglich des momentanen Auflagepunkts betrachten, dann ergäbe sich dieselbe Gleichung wie über die Energie (mit einbezogener Translationsenergie). |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2020 14:11 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | In meinem obigen Beitrag fehlte die kinetische Energie der Translationsbewegung. An der Form der Gleichungen ändert sich dadurch aber nichts.
Die Gleichung mit dem Drehimpuls wäre richtig, wenn das Rad sich frei um eine feste Achse drehen würde. Rollt das Rad, gilt sie nicht, denn die Unterlage übt ein Drehmoment bezüglich der Radachse aus (das Rad wird periodisch beschleunigt und abgebremst, von der Unterlage muss also eine tangentiale Kraft auf das Rad wirken).
Man könnte den Drehimpuls bezüglich des momentanen Auflagepunkts betrachten, dann ergäbe sich dieselbe Gleichung wie über die Energie (mit einbezogener Translationsenergie). |
@Myon
Danke für den Hinweis
Hatte überserhen, dass der Zylinder rollen soll.
Nimmt man als Momentanpol der Rotation den Berührungspunkt des Zylinders mit der Ebene an, beträgt das Massenträgheitsmoment
)
 + r \cdot (\frac{3}{2} \cdot m_z + 4\cdot m)\cdot \ddot{\varphi } = 0 )
Bis auf die Konstanten ändert sich die Bewegungsgleichung nicht.
Ein möglicher Lösungsweg wäre eine Näherungslösung, indem man sin phi als Taylorreihe enrwickelt.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 07. Dez 2020 14:39, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 07. Dez 2020 14:38 Titel: |
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@Mathefix: Wie kommst Du auf das Trägheitsmoment? Der Satz von Steiner kann hier nicht angewendet werden. Das Trägheitsmoment ist abhängig von der momentanen Lage der Zusatzmasse.
Der Ausdruck für die Translationsenergie ist ebenfalls komplizierter, als ich auf die Schnelle gedacht hatte, denn diese ist nicht nur abhängig von  , sondern auch vom Winkel  der Zusatzmasse. Dadurch wird auch die Differentialgleichung komplizierter. Am Ende muss man das Problem ohnehin numerisch lösen, und da spielt das keine grosse Rolle mehr.
PS: Entwicklung des Sinus nützt hier nichts, denn um welchen Punkt möchtest Du denn entwickeln? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2020 14:50 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | @Mathefix: Wie kommst Du auf das Trägheitsmoment? Der Satz von Steiner kann hier nicht angewendet werden. Das Trägheitsmoment ist abhängig von der momentanen Lage der Zusatzmasse.
Der Ausdruck für die Translationsenergie ist ebenfalls komplizierter, als ich auf die Schnelle gedacht hatte, denn diese ist nicht nur abhängig von , sondern auch vom Winkel der Zusatzmasse. Dadurch wird auch die Differentialgleichung komplizierter. Am Ende muss man das Problem ohnehin numerisch lösen, und da spielt das keine grosse Rolle mehr.
PS: Entwicklung des Sinus nützt hier nichts, denn um welchen Punkt möchtest Du denn entwickeln? |
Für den Zylinder muss Steiner angewandt werden, um den translatorischen Teil zu berücksichtigen. Bei der Zusatzmasse nicht, da sie punktförmig ist.
Berücksichtigung der momentanen Lage der Zusatzmasse
) )
 + r \cdot (\frac{3}{2} \cdot m_z + 2\cdot m \cdot (1+ \cos(\varphi )))\cdot \ddot{\varphi } = 0 )
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 07. Dez 2020 17:07, insgesamt 6-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5863
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| Myon Verfasst am: 07. Dez 2020 15:00 Titel: |
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Das Trägheitsmoment bez. des Auflagepunktes wäre etwa so (bei Rad als Vollscheibe, ansonsten Faktor 2 statt 3/2; phi=Winkel zur Horizontalen)
^2+\cos^2\varphi)) . |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2020 16:47 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Das Trägheitsmoment bez. des Auflagepunktes wäre etwa so (bei Rad als Vollscheibe, ansonsten Faktor 2 statt 3/2; phi=Winkel zur Horizontalen)
. |
^2+\cos^2\varphi) = 2\cdot (1+ \sin(\varphi )))
))
))
Abhängig davon, ob Drehwinkel phi gegen die Horizontale oder Vertikale definiert ist, haben wir identische Ergebnisse.
Vllt. kann das jemand die DGL plotten.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 07. Dez 2020 17:13, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5865
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2020 17:11 Titel: |
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@ sehr_verzweifelt
Jetzt hast Du zumindest die Bewegungsgleichung.
Lösung wie gesagt numerisch. |
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