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physiker405
Anmeldungsdatum: 01.02.2020
Beiträge: 4
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 physiker405 Verfasst am: 01. Feb 2020 16:04 Titel: Identische Teilchen im Potentialtopf |
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Meine Frage:
Drei identische Teilchen sollen sich wechselwirkungsfrei in einem eindimensionalen Potentialtopf mit
unendlich hohen Wänden bewegen:
&= 0 \quad\text{für}\quad 0\leq x\leq L\\
<br />
V(x)&=\inf \quad\text{sonst}
<br />
)
Die drei Teilchen seien jetzt Fermionen mit Spin 1/2 . Wie lautet jetzt die allgemeine Wellenfunktion ) für den Grundzustand?
Meine Ideen:
Die Lösung des Einteilchenproblems sei gegeben als ) .
Dann habe ich  gesetzt und  offen gelassen, um die beiden verschiedenen Möglichkeiten in einem zu behandeln. Jetzt habe ich einmal die Wellenfunktion mit der slater-Determinante berechnet:
Dabei gibt der Index an, an welcher Position der Ket stehen soll. Dies ergab zunächst allgemein:
)
So ehrhalte ich für den Grundzustand:
\phi_2(x_2)\phi_3(x_3)\left|\uparrow \downarrow s_3\right>+\phi_2(x_1)\phi_3(x_2)\phi_1(x_3)\left| \downarrow s_3\uparrow\right>+\phi_3(x_1)\phi_1(x_2)\phi_2(x_3)\left| s_3\uparrow \downarrow\right>
<br />
-\phi_3(x_1)\phi_2(x_2)\phi_1(x_3)\left|s_3 \downarrow\uparrow \right>-\phi_1(x_1)\phi_3(x_2)\phi_2(x_3)\left| \uparrow s_3\downarrow\right>-\phi_2(x_1)\phi_1(x_2)\phi_3(x_3)\left|\downarrow \uparrow s_3\right>))
Dies deckt sich jedoch nicht mit dem Ergebnis, was man mit der angegeben Formel über den Epsilon Tensor erhält:
\phi_2(x_j)\phi_3(x_k)\left|s_i s_j s_k\right>)
Unser Tutor hat explizit beides so angegeben und ich weiß jetzt nicht, was richtig ist oder ob beides eine mögliche Lösung ergibt? Durch den Epsilon Tensor wird ja tatsächlich Ort und Spin immer vertauscht, was ich auch für die richtige Lösung gehalten hatte, da es eigentlich so eingeführt wurde. Die slater Determinante mit dieser Notation ergibt jedoch nur eine Vertauschung der Wellenfunktionen und der Spins...
Schönen Dank für die Hilfe! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2020 16:49 Titel: |
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Also zunächst mal ist diese Mischung mit Wellenfunktionen und Kets irreführend bis falsch. Eine Wellenfunktion ist kein Ket, und eine Slaterdeterminante für eine Wellenfunktion enthält keinen Ket.
Die Slaterdeterminante findest du hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Slater-Determinante
Dabei ist die Notion zu lesen als
 \to \phi_{n_k,s_k}(x_i))
Du hast demnach drei beteiligte Zustände k = 1,2,3, die du den drei Teilchen i = 1,2,3 zuordnest.
Speziell für deinen Fall bezeichnet n = 1,2,... die n-te Einteilchen-Eigenfunktion u_n des Topfes sowie s den Spin mit s = +½, -½.
Du solltest also zunächst mal deine Slaterdeterminante mit diesen spinor-wertigen Wellenfunktionen schreiben
 = u_n(x) \, \chi_s)
Im Grundzustand könntest du versucht sein, für alle k = 1,2,3 immer n = 1 setzen. Das liefert wg. der geforderten Antisymmetrie in s jedoch Null. D.h. für ein k muss n=2 sein, die beiden anderen dürfen in n=1 sein.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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physiker405
Anmeldungsdatum: 01.02.2020
Beiträge: 4
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| physiker405 Verfasst am: 01. Feb 2020 17:00 Titel: |
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! Das hilft mir schon mal sehr weiter. Was hälst du denn nun von der epsilon-Tensor Schreibweise? Ist diese schlicht falsch? |
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physiker405
Anmeldungsdatum: 01.02.2020
Beiträge: 4
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| physiker405 Verfasst am: 01. Feb 2020 17:14 Titel: |
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Meine Verwirrung rührt daher, dass in der Vorlesung die slater-Determinanten wie folgt eingeführt wurde (hier auf 3 Fermionen reduziert):
 & \phi_{n_1}(\vec{r}_2\vec{s}_2) & \phi_{n_1}(\vec{r}_3\vec{s}_3) \\ \phi_{n_2}(\vec{r}_1\vec{s}_1) & \phi_{n_2}(\vec{r}_2\vec{s}_2) & \phi_{n_2}(\vec{r}_3\vec{s}_3) \\ \phi_{n_3}(\vec{r}_1\vec{s}_1) & \phi_{n_3}(\vec{r}_2\vec{s}_2) & \phi_{n_3}(\vec{r}_3\vec{s}_3) \end{vmatrix} )
Meines Erachtens stimmt das ja eigentlich mit der epsilon Tensor Methode überein. Ist dies vielleicht nicht immer anwendbar? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 01. Feb 2020 18:48 Titel: |
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Deine Verwirrung rührt daher, dass dich bisher jeder verwirrt hat.
Die Darstellung aus der Vorlesung ist auch nicht der wahre Jakob. Der Spin beschreibt den Zustand und gehört daher als Index an das phi; der Ortsvektor resuliert aus der Darstellung - hier speziell der Ortsdarstellung - und gehört als Koordinate dieser Darstellung in die Klammer.
Also
)
Also schreib den Spin in den Index und alles ist gut.
Die Darstellung mit dem Epsilonsymbol ist Quatsch, jedoch nicht wegen des Epsilonsymbols sondern der Mischung von Wellenfunktionen und Kets - s.o.
Gemeint ist
 = \sum_p (-)^{\text{sign}(p)} \phi_{1, p(1)} \, \phi_{2,p(2)} \, \ldots \phi_{N,p(N)})
die Berechnung der Determinante gemäß der Leibniz-Regel als Summe über alle Permutionen p der Zahlen 1..N.
^{\text{sign}(p)} \to \epsilon)
ist das Vorzeichen der Permutation p, also
 = \text{sign}(231) = \text{sign}(312) = +1)
 = \text{sign}(213) = \text{sign}(132) = -1)
Das ist gerade die Definition des epsilon-Symbols, d.h.
wenn abc eine gerade bzw. ungerade Permutation von 123 ist (Null sonst).
In deinem Fall legst du wieder drei Zustände k = 1,2,3 fest und setzt ein:
Du musst also beachten, dass die Summation im Epsilonsymbol in a,b,c über diese drei Zustände k=1,2,3 läuft
 \, \phi_{n_b,s_b}(x_2) \, \phi_{n_c, s_c}(x_3) = \sum_{a,b,c = 1}^3 \epsilon_{abc} \, [u_{n_a}(x_1) \, u_{n_b}(x_2) \, u_{n_c}(x_3)] \, [\chi_{s_a} \, \chi_{s_b} \, \chi_{s_c}] )
Den hinteren Term schreibt dein Tutor als Ket, und das ist irreführend. Außerdem schreibt er einmal die Indizes i,j,k zur Koordinate, einmal zum Spin, und das ist m.E. falsch - es sei denn, dass zufälligerweise für diesen Spezialfall das Richtige rauskommt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 01. Feb 2020 23:19, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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physiker405
Anmeldungsdatum: 01.02.2020
Beiträge: 4
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| physiker405 Verfasst am: 01. Feb 2020 19:01 Titel: |
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Besten Dank für die super Hilfe! |
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