Lorentz- und Riemann-Skalare

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 498

Ist jedes Lorentz-Skalar auch ein Riemann-Skalar ?

Ich denke ja, da ich nach dem Äquivalenzprinzip ja jeden Punkt lokal durch einen Minkowski-Raum beschreiben kann. Wenn ich dann in den Koordinaten des LIS ein Skalar berechne dürfte sich dieses durch eine Transformation auf ein globales KS ja nicht ändern.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Was ist ein Riemann-Skalar?

Für einen Lorentz-Skalar ist das klar: ein Lorentz-Skalar ist eine Größe, die invariant unter beliebigen Lorentz-Transformation ist. Das gilt insbs. für Größen, die aus Tensoren durch Kontraktion über alle Indizes gebildet werden.

Damit gilt der Begriff des Lorentz-Skalars auch für Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Allerdings ist die Konstruktion restriktiver.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 498

mit Riemann-Skalar meine ich ein Skalar, das invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen ist. Also ist z.B.

invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

du meinst sicher

ja, Tensoren nullter Stufe sind invariant unter Koordinatentransformationen

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 498

ok. Aber z.B.

ist nur invariant unter Lorentz-Transformationen aber nicht unter allg. Koordinatentransformationen, da

kein Riemann-Tensor ist oder ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Ja, dazu müsstest du die kovariante Ableitung von A betrachten.

U.a. deswegen habe ich oben geschriebene, dass die Konstruktion restriktiver ist.

Ähnliches gilt für Volumenintegrale über eine Mannigfaltigkeit M. Während in der SRT z.B. aus

folgt, dass

vektorielle Erhaltungsgrößen sind, gilt dies in der ART wg. der kovarianten Konstanz

nicht.

Zum ersten liefert die partielle Ableitung alleine keinen Tensor zweiter Stufe - s.o. - und zum zweiten ist die Integration wg. der Christoffel-Symbole in der kovarianten Ableitung nicht wie in der SRT durchführbar.