SRT: Bewegte Uhren

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Noch ne Frage (nein, diesmal zweifel ich nichts aus einem Buch an):

Wenn man sich auf eine bewegte Uhr zubewegt, geht sie schneller als wenn man mit der gleichen Geschwindigkeit vor ihr abhaut. Das ist insbesondere paradox, wenn z.B. ein Mensch in der linken Hand die eine, und in der rechten Hand die andere hält.

Wie muss man sich sowas vorstellen? Was passiert genau in der Mitte? Hab mir das nie vorgestellt, nur gestaunt, dass die Zeittransformationen hinhauen, was aber am Vorzeichen lag. Nur wie ich mir das praktisch vorzustellen habe, hat mich fasziniert.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Hast Du Dir schon mal ein kleines Minkowski-Diagramm gemalt? Ich finde das immer sehr gut, um dem Verstehen einen Schritt näher zu kommen.
Eigentlich ist das ja sowas wie der Dopplereffekt, den Du da beschreibst. In diesem Fall hättest Du sogar einen ähnlichen Effekt, wenn Du Dir das ganze mit Schall und zwei Polizei-Autos mit Sirene vorstellst. Beide fahren mit gleicher Geschwindigkeit und einem Abstand von 1km hintereinander her. Du stehst irgendwo in der Mitte. Die Frequenz, die Du hörst, ist ja quasi die "Ganggeschwindigkeit" der Uhren. Wenn die Sirene immer nur eine Frequenz ausstrahlen würde, dann würde eine Schwingungsperiode genau einer Zeiteinheit entsprechen.
Allerdings ist das noch kein wirkliches "Andersgehen" der Uhren. Dieser Dopplereffekt ist ja einfach raus zu rechnen, so dass man als stehender Beobachter in der Mitte feststellen kann, welche Frequenzen die Sirenen aussenden, also welche Periodendauer das Signal hat. Die Frequenz verschiebt sich dann ja nur, weil die Abstände sich die ganze Zeit ändern.
Bei der SRT ist das etwas anders. Zusätzlich zum Dopplereffekt kommt noch, dass beide Uhren an sich langsamer gehen für den stehenden Beobachter. Also sind die Frequenzen noch ein Stück niedriger oder die Periodendauer länger, als man das vom Dopplereffekt erwarten würde. Wenn man die Geschwindigkeiten kennt und auch die Entfernungen zu jedem Zeitpunkt, dann kann man ja die Zeitpunkte für ein Ticken der Uhren zurückrechnen. Dabei wird man feststellen, dass die beiden Uhren gleich schnell, aber langsamer als meine eigene laufen. Allerdings laufen sie auch nicht syncron, obwohl sie das im bewegten Bezugssystem tun.

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was du da ansprichst, ist die Kombination des ganz normalen Dopplereffektes für elektromagnetische Wellen mit der relativistischen Zeitdilatation. Das nennt man relativistischer Dopplereffekt.

(siehe dazu z.B.: http://www.physikerboard.de/ptopic,33815,dopplereffekt+zeitdilatation.html#33815)

Deine Versuchsanordnung dazu habe ich noch nicht ganz verstanden: Ich würde sagen, wenn ich eine Uhr in der Hand halte, dann bewegt sie sich nicht relativ zu mir, egal ob ich sie in der linken oder in der rechten Hand halte.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Also gehen beide Uhren gleich schnell, wenn sie auch nicht gleichzeitig starten würden wenn sie von einem mittigen, gemeinsamen Signal angestoßen würden, und diese Unterschiede kommen nur durch die Laufzeiten zustande?

Ist denn dann diese Gleichung, die wir mal in der Schule hatten, gleich mit Berücksichtigung der Lichtlaufzeiten? Ich dachte immer, das ist die reine Zeitdilatation, als ob die Information vom Ereignis instantan zum Beobachter käme:

bzw.

(Ich hoffe ihr kennt die irgendwoher, weil unsere "Herleitung", na ja, ...)

@dermarkus: Vorstellen tu ich mir das so wie unten smile

//edit:
Mir fällt grad auf: Wenn ich für x bzw. x' Null einsetze, dann hab ich die reine Zeitdillatation. Aber ich weißes nicht...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Deine Gleichung

ist ein Teil der Lorentztransformation. Und zwar der Teil, mit dem man aus den Koordinaten x und t im einen Bezugssystem die Zeit t' im anderen Bezugssystem berechnet.

Wie du schon gesehen hast, ist das für x=0 genau die Zeitdilatation.

Daran, dass Ereignisse an verschiedenen Orten

, obwohl sie sich im einen Bezugssystem zum selben Zeitpunkt t ereignen, im anderen Bezugssytem zu verschiedenen Zeitpunkten t' stattfinden (denn laut unserer Gleichung hängt t' von x ab), siehst du übrigens das, was wir gerade im letzten Thread angesprochen hatten, nämlich dass zwei Ereignisse an unterschiedlichen Orten, die sich im einen Bezugssystem gleichzeitig ereignen, sich im anderen Bezugssystem nacheinander ereignen.

Auf deinen Versuchsaufbau lässt sich diese Gleichung nun aber schon allein darum nicht anwenden, weil das Problem, was du gemalt hat, (wenn ich es richtig interpretiere) Geschwindigkeiten in alle drei Raumrichtungen enthält. Lass uns mal die Vorstellung akzeptieren, dass du sehr, sehr lange Arme hast, die du sehr, sehr schnell bewegen kannst. Wie könntest du dann dein Problem so vereinfachen, dass alle Bewegungen nur entlang einer Raumrichtung stattfinden? Und welche Uhren möchtest du dann vergleichen? Möchtest du vielleicht mit einer Funkuhr arbeiten?

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Danke as_string für den Tipp mit den Minowski-Diagrammen, die sind ja im Prinzip recht leicht. In der Schule hat man uns gesagt, die kämen nicht dran weil sie zu kompliziert wären...

Jedenfalls dachte ich jetzt, toll, probierstes mal aus, aber irgendwie kann ich obiges Beispiel nicht so recht anwenden. Da die Minkowski-Diagramme ja laut Wiki lichtlaufzeitbereinigt sind, war ich nicht so glücklich: Die Uhren laufen für einen Beobachter doch unterschiedlich schnell, oder interpretiere ich das falsch?

//zu dem Bild:
Von mir aus fliege ich auch direkt auf der Verbindungslinie zwischen den Uhren. Der grüne Pfeil ist unabsichtlich schief geraten. Und seit wann sind Ausdehnungen senkrecht zur Bewegungsrichtung relevant?

// edit2:
Ach so: Ich bin nicht die Figur in der Mitte, sondern vielmehr der Beobachter im Raumschiff. Ich dachte das wäre logisch...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, jetzt verstehe ich, wie du deinen Versuchsaufbau meinst:

Da steht ein Mensch mit sehr langen Armen und drei Uhren. Eine in der rechten Hand (Uhr 1), eine auf seinem Kopf (Uhr 2) und eine in der linken Hand (Uhr 3). Im Bezugssystem dieses Menschen gehen alle drei Uhren gleich schnell und synchron. Alle drei Uhren senden Zeitsignale aus, die du mit gelben Pfeilen symbolisiert hast.

Nun fliegst du in einem schicken UFO dran vorbei, in Richtung des grünen Pfeiles, das sei die Richtung von der rechten Hand zur linken Hand. Und du beobachtest, wie schnell die drei Uhren gehen.

Als deine Beobachtungsinstrumente schlage ich drei Funkuhren vor, die Funkuhr 1 zeigt das an, was das Zeitsignal von der Uhr in der rechten Hand sagt, die Funkuhr 2 ist für das Zeitsignal von der Uhr auf dem Kopf, und die Funkuhr 3 ist für das Zeitsignal von der Uhr in der linken Hand. (Wenn du es weniger high-tech magst, dann kannst du statt dessen auch annehmen, dass du vom UFO aus alle drei Uhren des Menschen durch Anschauen ablesen kannst.) Und zusätzlich hast du noch eine Taschenuhr dabei, die dir die Uhrzeit in deinem Bezugssystem anzeigt.

Wenn du gerade am Kopf des Menschen vorbeifliegst, vergleichst du nun, wie schnell die Uhren gehen.

Die Uhr 2 auf dem Kopf bewegt sich relativ zu dir, aber die Uhrensignale bewegen sich (ungefähr) senkrecht zu deiner Bewegungsrichtung, während du gerade dran vorbeifliegst. Also geht die Funkuhr 2 (Abstand zwischen zweimal Ticken in deinem UFO-Bezugssystem:

) nur gerade um die Zeitdilatation langsamer als deine Taschenuhr (

):

Von der Uhr 1 in der rechten Hand bewegst du dich weg, also geht die Funkuhr 1 (

) wegen dem Dopplereffekt langsamer als die Funkuhr 2, und damit auch langsamer als deine Taschenuhr:

Auf die Uhr 3 in der rechten Hand bewegst du dich zu, also geht die Funkuhr 3 (

) wegen dem Dopplereffekt schneller als die Funkuhr 2, und sie geht auch schneller als deine Taschenuhr:

Das heißt, du siehst von deinem Raumschiff aus alle drei Uhren (Uhr 1 , Uhr 2 und Uhr 3) unterschiedlich schnell gehen, während du gerade am Kopf des Menschen vorbeifliegst.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ja, genau so hatte ich das mal gedacht. Hatte eigentlich vermutet, das sei ein recht einfaches/ bekanntes Beispiel. Na ja, die schicke Zeichnung...

Also gut, du sagst, alle drei Uhren gehen nur um die Effekte der Zeitdilatation korrigiert für mich gleich (das sie in ihrem IS gleich gehen ist ja sowieso so).
Ich sehe sie lediglich unterschiedlich laufen, weil die Signale schneller bzw. langsamer auf mich zu kommen, also eine Art Dopplereffekt.

Und als "Beweis" würde ich das jetzt nochmal gern am Minkowski-Diagramm ablesen.
Wer weiß wies geht?

Danke erstmal.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich hab das zugehörige Minkowski-Diagramm mal gezeichnet. Ich hoffe, es ist übersichtlich genug geworden.

Das Bezugssystem mit den ungestrichenen Koordinatenachsen für x und ct ist das des Menschen mit den drei Uhren. Ich habe es rechtwinklig gezeichnet.

Dein Bezugssystem im UFO hat die Koordinatenachsen x' und ct' mit den Strichen.

Für den Winkel

, der sich sowohl zwischen x-Achse und x'-Achse als auch zwischen ct-Achse und ct'-Achse befindet, gilt:

Die Lichtausbreitung (und unsere Signalübertragung) erfolgt in diesem Minkowski-Diagramm immer auf Geraden im 45°-Winkel nach oben rechts oder nach oben links.

Die roten Intervalle sind das Zeitintervall zwischen zwei Uhrenticks im Bezugssystem des Menschen.

Das schwarze Zeitintervall (das ich rechts neben dem rechten roten Pfeil eingezeichnet habe) ist die orthogonale Projektion des roten Intervalls auf die Richtung der ct'-Achse, es ist das

deiner Taschenuhr.

Das bläuliche Zeitintervall auf der ct'-Achse ist das

der Funkuhr 1, also der Zeitabstand der Ankunft der Signale im UFO, die von Uhr 1 in der rechten Hand (Position x1) kommen. Es ist das längste Zeitintervall auf dieser Achse.

Das gräuliche Zeitintervall auf der ct'-Achse ist das

der Funkuhr 2, also der Zeitabstand der Ankunft der Signale im UFO, die von Uhr 2 auf dem Kopf (Position x2) kommen. Es ist das zweitlängste Zeitintervall auf dieser Achse.

Das grünliche Zeitintervall auf der ct'-Achse ist das

der Funkuhr 3, also der Zeitabstand der Ankunft der Signale im UFO, die von Uhr 3 in der linken Hand (Position x3) kommen. Es ist das kürzeste Zeitintervall auf dieser Achse.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich habe auch mal eins gezeichnet. Da schwarze System ist "unser" BS, also das des vorbei fliegenden Ufos. Das blau das der zwei Uhren. Die Uhren gehen in diesem System syncron, deshalb die vielen Striche parallel zu der x'-Achse. Immer wenn so ein Strich die Weltlinie der Uhren links und rechts schneidet, hat es bei den beiden "Tick" gemacht. Zu diesen (Raum-)Zeitpunkten senden sie ein Lichtsignal aus. Wir selbst sitzen in der Mitte, weil wir unser Ufo ja als Ruhesystem ansehen und deshalb befinden wir uns immer auf der schwarzen ct-Achse. Wir sehen die roten Lichtsignale erstens versetzt ankommen, obwohl sie gleichzeitig ausgesendet wurden und die linken in einer anderen Frequenz wie die rechten. Dieser Frequenzunterschied ist aber nur der Dopplereffekt und die Unsyncronität ist vielleicht auch noch nichts so besonderes.
Was man in meinem Diagramm leider nicht sehen kann ist, dass die (Zeit-)Abstände des Signalaussendens auf den blauen Linien größer sind, als eine Zeiteinheit auf der schwarzen ct Achse wären, und zwar gerade um den Lorenzfaktor verlängert. Das ist die Zeitdillatation. Ich muß mal versuchen, ob ich das auch noch irgendwie einbauen kann... aber heute nicht mehr! Ich weiß leider nicht, ob man das auch zeichnerisch konstruieren kann. Irgendwie geht das doch mit dem tanh des Drehwinkels, oder wie war das??? Naja, muss ich mir nochmal morgen reinziehen.

Gruß
Marco

//Edit: Da habe ich wohl für die Zeichnung zu lange gebraucht und dermarkus ist mir zuvor gekommen. Naja, macht ja nichts... Besser zwei als keine!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ihr bietet ja einen tollen mitternächtlichen Supportservice Augenzwinkern

Leider kann ich beide Diagramme nicht so recht nachvollziehen, weil ihr diese rechtwinklige Darstellung anwendet. Das Abtragen der Intervalle erfolgt dabei ja nicht auf Achsenparallelen.
Aber eigentlich müsste sich mein Problem schon gelärt haben: Wie ich sehe, habt ihr jeweils zwei Zeiten abgetragen, nämlich zwei mal Tick. Ich hab hingegen die Gesamtlaufzeiten der Uhren betrachtet, und das ist Unsinn. Wenn ich also nochmal von ct aus eine "Abfrage" an die Uhren starte, bekomme ich auf meiner ct-Achse die gleichen Abstande von Tick_1 zu Tick_2 bei allen drei Uhren.

Also wenn ich jetzt nicht zu einfach denke, wärs das eigentlich. Danke!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Nein, ich mein doch mein eigenes (die symmetrische Darstellungsform gefällt mir wegen des gleichen Achsenmaßstabs am besten).

Und mit 'Abfrage' meine ich nur Pfeil hin/ Pfeil zurück, nichts ernstes Augenzwinkern

In Wikipedia sind beide Formen recht gut erklärt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ah, okay, dann hast du nur den Effekt der Zeitdilatation zeichnen wollen, nicht die tatsächliche Beobachtung bei der Uhrenabfrage in unserem Experiment. In deiner Zeichnung ist dein UFO das System ohne Striche und das System des Menschen mit den drei Uhren das System mit Strichen, das sich relativ zu dir bewegt.

Und du hast gezeichnet, dass du im UFO feststellst, dass bewegte Uhren aufgrund der Zeitdilatation langsamer gehen, egal wo im bewegten System sie sich befinden, wenn du den Dopplereffekt aus deinen experimentellen Beobachtungen herausrechnest. Darum hast du in deinem Minkowski-Diagramm auch nicht mitberücksichtigt, wie die Uhrensignale sich vom Menschen zum UFO bewegen.

Voessli · Anmeldungsdatum: 14.06.2006 Beiträge: 33

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ach.

Nein, das hatte sich ja dann doch schon recht bald ergeben. Aber immer gut, wenn die Meinung noch mal ein bissel untermauert wird.

Trotzdem Danke Wink

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Dann muß ich aber auch nochmal was dazu sagen: Das ist nicht der einzige Grund, warum man die Uhr langsamer gehen sieht. Das könnte man auch schon mit einem Ähter erklären. Dazu kommt noch die Zeitdillatation. Also auch, wenn man diesen Doppler-ähnlichen-Effekt raus rechnet, geht die Uhr immer noch langsamer als die mitgeführte und zwar genau um den Gamma-Faktor.

Gruß
Marco

Voessli · Anmeldungsdatum: 14.06.2006 Beiträge: 33

Der fehlende Dopplereffekt ist doch durch die relative Konstanz von c erklärt. Bleibt noch der sich vergrößernde Abstand zwischen den Uhren - was dann den Gammaeffekt ausmacht..

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Nein, da hast Du was falsch verstanden...
Natürlich gibt es in der SRT einen Dopplereffekt, ähnlich wie bei einer Äthertheorie auch. Zusätzlich zum normalen Dopplereffekt, wie z. B. beim Schall, kommt noch die Zeitdillatation mit dem Gamma-Faktor dazu.
Deshalb gibt es auch den sog. "Transversalen Dopplereffekt" (schau mal bei Wikipedia, da steht sicher etwas darüber drin). Wenn (bei Windstille etc...) ein Polizeiauto mit Sirene an uns vorbei fährt, dann hören wir genau die Frequenz, die es aussendet, wenn es gerade direkt bei uns vorbei fährt, wenn also sein Geschwindigkeitsvektor senkrecht zu der Verbindungsgeraden zwischen dem Auto und uns ist. Das ist aber in der Realtivitätstheorie nicht so! Wenn er schnell genug wäre, dann würden wir auch in dem Augenblick, indem er direkt auf unserer Höhe ist, eine Farbverschiebung wahrnehmen, und zwar zu niedrigeren Frequenzen. Wenn man also eines der neuen Polizeiautos mit blauen Streifen hatte, könnte man es so vielleicht schaffen, dass die von außen betrachtet doch wieder grün aussehen. Big Laugh

Das hat aber alles nicht mit dem klassischen Dopplereffekt zu tun, wie er beim Schall auftritt.
Umgekehrt hat die Zeitdillatation auch nicht direkt mit dem Dopplereffekt zu tun. (Naja, irgendwo hängt natürlich alles irgendwie zusammen...)
Außerdem hast Du die Zeitdillatation sowohl wenn die Uhr/das Auto/das Raumschiff auf uns zukommt als auch, wenn sie/es von uns weg sich bewegt.

Gruß
Marco

Voessli · Anmeldungsdatum: 14.06.2006 Beiträge: 33

Gut der Dopplereffekt wirkt sich eh nur auf Frequenzen des des Mediums aus (Schall, Licht) aber nicht auf den Rhytmus vom Signal.

Aber die Aussage daß die Zeitdilatation unabhängig von der Bewegungsrichtung ist kann nicht stimmen. Das Zwilllingparadoxon zeigt dies deutlich. Für jeden der beiden Zwillinge müßte der jeweils andere jünger erscheinen nach ihrem Wiederzusammentreffen grübelnd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Zum Zwillingparadoxon gibt es eine sehr gute Seite auf Wikipedia.
http://de.wikipedia.org/wiki/Zwillingsparadoxon
Dort wird auch erklärt, woher die Assymetrie kommt, nämlich von dem Wechsel des Inertialsystems des reisenden Zwillings. Schau Dir das bei Wikipedia mal. Da ist es sicher besser erklärt, als ich das könnte.

Gruß
Marco