Teilchen im Kasten

Hadrada · Gast

Hallo,

Ich habe eine Frage bezüglich des quantenmechanischen Problems eines Teilchens in einem 1D-Kasten. Folgendes:

Liegt ein Potential

der Form

vor, so ist die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung

Mit der Randbedingung

folgt durch einsetzen von

, dass

.

Liegt allerdings ein anderes Potential, und zwar

vor, so müsste ich durch die Randbedingungen

doch im Grund auch auf das Ergebnis

kommen, da sich die Physik der beiden Probleme doch nicht wirklich unterscheidet. Im Grunde habe ich nur eine Verschiebung des Koordinatenursprungs vorgenommen (siehe ANMERKUNG unten). Ich verstehe aber nicht, wie ich A = -B aus den Randbedingungen folgern kann. Weiß jemand weiter?

Grüße,
Hadrada

ANMERKUNG: nicht ganz richtig, da die Länge der Box sich unterscheidet. Da ich die Variable L allerdings nicht näher bestimmt habe, könnte ich auch ein L' einführen, welches die Bedingung L' = L/2 erfüllt, womit dann das selbe Problem beschrieben wäre.)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Wenn man die beiden Gleichungen

einmal addiert und einmal voneinander subtrahiert, folgt

Diese beiden Gleichungen können gleichzeitig nur erfüllt sein, wenn A=-B.

Hadrada · Gast

Danke dir!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5866

Gern geschehen. Musste grad auch ein bisschen rumprobieren, aber da die beiden Fälle ja wirklich äquivalent sind, müssen sich auch die gleichen Folgerungen ergeben.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Hadrada · Gast

Grüße,

Nun bin ich verwirrt. Nochmal Schritt für Schritt:

Mit dem korrigierten Vorzeichenfehler, haben wir nun nach Addition und Subtraktion die beiden Gleichungen:

Aus I. folgt wenn

:

Aus II. folgt für den Fall

:

Ist also nun meine allgemeine Lösung

diese hier? Macht eine solche Fallunterscheidung Sinn, da diese im Beispiel mit Potentialkasten im Bereich [0,L] auch nicht notwendig ist?

MfG
Hadrada

Hadrada · Gast

Ist diese Lösung so zu verstehen, dass beide Lösungen erlaubt sind und Vorkommen, meine Wellenfunktion also eine Überlagerung der Form

- wobei

- ist?

P.S. die Konstanten werden dann in weiterer Form natürlich zusammengefasst, hier zur Übersicht nicht.

Hadrada · Gast

P.P.S.: Natürlich mit

in beiden Argumenten