Produkträume in der Quantenmechanik

DivGradPot · Anmeldungsdatum: 07.07.2019 Beiträge: 45

Meine Frage:
Hey,

Ich hätte noch ne allgemeine Frage zu Produkträumen und würde mal wissen ob ich es soweit auch richtig verstanden habe: Also soweit ich das verstanden habe will man Systeme mit verschiedenen Zuständen damit beschreiben. Wobei ich ehrlich gesagt nicht ganz verstehe wie.
Also man geht von zwei verschiedenen Zuständen aus, ob die was miteinander zu tun haben also ob sie gekoppelt sind weiß ich nicht ob das wichtig ist. Man hat jedenfalls zwei Zustände die man in ihrem eigenen Hilbertraum leben lässt. (Hier hätte ich ne erste Frage wieso man sie in ihrem eigenen Raum leben lässt und nicht schon von vorne herein in einem Leben lässt?)

Die beiden Zustände sollen jetzt irgendwie zusammengebracht werden, was über das Tensorprodukt geschieht. Also man will die irgendwie zusammenbringen, diese beiden Zustände. Aber wie das passiert verstehe ich nicht genau und wieso man das so macht. Könnte mir das jemand irgendwie erklären?

Also man geht doch davon aus das die beiden Zustände unabhängig von einander sind oder? Zum Beispiel der Ort und der Spin eines Teilchens werden unabhängig betrachtet meine ich.
Ich hab allerdings gelesen das man zum Beispiel Zustände bekommt die man mit hilfe der Tensorprodukte nicht hinbekommt bzw. man kriegt im Tensorprodutraum dann durch Superposition Zustände raus die man irgendwie nicht anders darstellen kann und das heißt dann verschränkt...

Dann hab ich noch gelesen das man die Produkte so wählt das sie auch Wechselwirkungen der Zustände zulassen aber wie das aufgebaut wird verstehe ich nicht so ganz...
Ihr sehr das ist voll das durcheinander aber ich verstehe es halt nicht, gibt's vielleicht paar gute Quellen dazu oder kann mir das wer erklären?

Meine Ideen:
Also ich habe nicht wirklich eine Idee dazu nur aufgeschnappte Sachen aber kann sie nicht wirklich in Zusammenhang bringen...

Physiknovize · Gast

Produkträume von Hilberträumen verwendet man in der Quantenmechanik vor allem um Mehrteilchenzustände zu beschreiben.
Die Hilberträume, welche den Produktraum bilden, beschreiben für sich genommen Einteilchenzustände.

Clemens · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 40

Hey,

ein gutes Beispiel sind denke ich ein Elektron und ein Proton mit je zwei möglichen Zuständen:

Dass die beiden Teilchen nicht durch die gleiche Wellenfunktion beschrieben werden können ist klar. Dennoch kann es Korrelationen geben, z.B. wenn man das Elektron ist Zustand E1 misst, die Wahrscheinlichkeit größer ist, das Proton in Zustand P1 zu messen, als in P2. Dafür braucht man den Produktraum, dessen Dimension das Produkt der Dimensionen der beiden Unterräume ist, hier 2x2=4. Um einen Zustand zu beschreiben, muss man beiden Teilchen eine Wellenfunktion zuweisen, eine mögliche (notwendigerweiße 4-elementige) Basis wäre also:

Nun sind wie üblich in der Quantenmechanik Überlagerungen dieser Zustände möglich. Zum Beispiel aus der Überlagerung des ersten und des letzten Zustands der Basis

Ist das System in diesem Zustand, kann man nichtmehr sagen, ob sich das Elektron nun in E1 oder E2 befindet, oder das Proton in P1 oder P2. Das wäre auch bei getrennt überlagerten Zuständen in den einzelnen Räumen

der Fall. Die Überlagerung im Produktraum (1) hat jedoch noch einen weiteren Kniff: Man kann in (1) keinen reinen Elektronen- oder Protonen-Teil ausklammern, sodass er sich unabhängig vom Rest verhält: Misst man nun den Zustand des Elektrons, und stellt (zufällig, da 50:50) fest, es befindet sich in E1 und misst anschließend das Proton, stellt man fest, es befindet sich zu 100% in P1, da durch die erste Messung der obige Zustand im ersteren Teil festgelegt wurde. Nur mit getrennten Überlagerungenden in den einzelnen Räumen (2) sind solche Effekte nicht beschreibbar! Dort würde die Messung von E1 zwar den Zustand des Elektrons festlegen, der des Protons würde aber in der Überlagerung bleiben und nur zu 50% P1 ergeben. Der Produktraum ist also zwingend notwendig, um solche "verschränkten" Zustände wie (1) (die es tatsächlich gibt!) beschreiben zu können.

Ich hoffe das hilft.

Viele Grüße,
Clemens

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Clemens, danke für diesen Beitrag.