2D-Körper in Raum ohne Reibung

WillShakesBeer · Anmeldungsdatum: 23.04.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hey Leute.
Wir sind neulich in einer lustigen Runde auf eine ganz interessante Frage gestoßen.
Zu allererst, folgende Annahmen: Wir befinden uns in einer 2D Ebene ohne Reibung oder sonstige Einflüsse. in dieser Ebene befindet sich ein perfektes Quadrat bekannter Masse, dessen Massenschwerpunkt natürlich genau in der Mitte liegt. jetzt befestigen wir, sagen wir an der rechten unteren Ecke einen Antrieb an dem Quadrat, dessen Antriebseinrichtung nicht durch den Massenschwerpunkt, sondern zB nach oben rechts zeigt.
Wie wird sich das Quadrat bewegen?

Meine Ideen:
---------
| |
| |
| |
--------x

Antrieb an der Stelle x, dessen Kraft nach unten gerichtet ist, also die rechte untere Ecke nack rechts oben antreibt.

Ich hätte gerne eine Formel, um die Bewegung des Quadrates zu bestimmen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Die Bewegung wird eine Kombination aus Translation und Rotation sein.

Zunächst ein paar Fragen:

a) wirkt die Kraft ständig, oder wird der Körper nur kurz angestupst?
b) wenn ersteres: bleibt die Richtung der Kraft konstant, oder rotiert die Richtung mit dem Körper mit?

Zu b) denk dir ein Flugzeug, bei dem ein Triebwerk ausgefallen ist; das verbleibende Triebwerk rotiert mit dem Flugzeug mit.

Hier eine Referenz, wie man das prinzipiell angeht: Rigid body dynamics

Ich denke, im vorliegenden Fall kann man die Herleitung etwas vereinfachen: man denke sich die Masse des Quadrats auf vier Massepunkte in den Ecken konzentriert; an einem davon greife die Kraft F an; für alle Ecken führt man zusätzlich Zwangsbedingungen ein, so dass die geometrische Form erhalten bleibt.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Du kriegst zwei überlagerte Bewegungen: Eine Rotation um den Schwerpunkt und eine Bewegung des Schwerpunktes selbst. Die Seitenlänge sei s, alle verwndeten Begriffe kann man googeln.
1) Rotation: Trägheitsmoment I=s²*m/6, Antriebsmoment M=F*s/2, also eine Winkelbeschleunigung von α = M/I = 3F/(m*s). Der Drehwinkiel ist dann ϕ = α/2*t². Es dreht sich mit der Zeit also immer schneller.
2) Tanslation: Der Schwerpunkt kriegt eine Beschleunigung von a=F/m mit, die sich mitdreht. Seine Geschwindigkeit folgt dem Zeitintegral von ax=a*sin(ϕ(t)) bzw. ay=a*cos(ϕ(t)) - also ay = a*cos(α/2*t²), das rechnet dir Wolfram alpha aus. Er beschreibt eine immer enger werdende Spirale, der eine Bewegung nach links oben überlagert ist. Nach einiger Zeit hast du ein beliebig schnell rotierendes Quadrat, das sich mit konstanter Geschwindigkeit nach links oben bewegt.