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W'keit einer Messung berechnen
 
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Anfaenger2000



Anmeldungsdatum: 24.01.2019
Beiträge: 5

Beitrag Anfaenger2000 Verfasst am: 24. Jan 2019 11:21    Titel: W'keit einer Messung berechnen Antworten mit Zitat

Guten Tag,

ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

Von einer Spin-1/2 Quelle werden Teilchen mit W'keit im Zustand und mit W'keit im Zustand emittiert. Mit welcher W'keit wird bei einer Spinmessung in y-Richtung der Messwert abgelesen.


Es handelt sich um ein gemischtes System. Deswegen würde ich erstmal den Dichteoperator bestimmen. Dieser war wie folgt definiert:



wobei die W'keit ist, dass der Zustand im Gemisch vertreten ist.

Jetzt kann man leicht nachrechnen (Eigenvektoren der Pauli-Matrix bestimmen und normieren), dass der Spin-Up in x-Richtung durch den Zustand



und Spin-up in z-Richtung durch



gegeben ist. Für den Dichteoperator (Matrix) ergibt sich



Meine Frage ist nun, wie ich mithilfe des Dichteoperators die W'keit bestimmen soll. Ist dies überhaupt möglich? In der Vorlesung habe wir immer nur Erwartungswerte mit dem Dichte Operator bestimmt.

Grüße
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1590

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Jan 2019 13:43    Titel: Re: W'keit einer Messung berechnen Antworten mit Zitat

Anfaenger2000 hat Folgendes geschrieben:

Meine Frage ist nun, wie ich mithilfe des Dichteoperators die W'keit bestimmen soll. Ist dies überhaupt möglich? In der Vorlesung habe wir immer nur Erwartungswerte mit dem Dichte Operator bestimmt.


Zu jedem Meßwert gehört ein Teilraum aufgespannt von Eigenzuständen und zu diesem Eigenraum gehört ein Projektionsoperator . Wenn der Eigenwert nicht entartet ist, gilt einfach mit dem Eigenvektor . (Diese Form kannst du hier benutzen.) Die Meßwahrscheinlichkeit von im Zustand ist



Daraus erhältst du sofort die Formel für den Erwartungswert über die Spektraldarstellung



nämlich



Umgekehrt ist natürlich die Wahrscheinlichkeit der Erwartungswert des Operators , d.h.



Also muß man sich nur eine der Gleichungen (1) oder (2) merken. Der Weg von (1) nach (2) erscheint mir natürlicher. Deswegen merke ich mir immer (1) zusammen mit der Spektraldarstellung für .
Anfaenger2000



Anmeldungsdatum: 24.01.2019
Beiträge: 5

Beitrag Anfaenger2000 Verfasst am: 24. Jan 2019 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für deine Antwort!

Falls die berechnete Dichtematrix korrekt ist, erhalte ich mit Definition (1) folgende W'Keit



wobei der Eigenzustand zum Operator mit Eigenwert ist.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1590

Beitrag index_razor Verfasst am: 24. Jan 2019 22:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke du hast dich bei der Spurbildung verrechnet.

Instruktiver ist es übrigens bis zum Ende die variable Wahrscheinlichkeit p als Parameter durch die Rechnung zu ziehen. Außerdem besteht keine Notwendigkeit in der z-Darstellung zu rechnen. Die gesamte Aufgabe läßt sich gut mit Hilfe der Pauli-Algebra allein lösen. In einem anderen Thread habe ich gerade erklärt, daß jeder Zustand eines Spin-1/2-Systems durch Angabe eines Polarisationsvektors definiert werden kann



Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraischen Relationen



und



Nun muß man nur noch wissen, daß reine Zustände durch die Bedingung charakterisiert sind. (Warum?) Dann folgt auch, daß die Eigenzustände für die Spinmessung entlang einer Achsenrichtung die Form



etc. haben. Damit haben wir für den Ausgangszustand

.

Gesucht ist nun



Das ist also unabhängig von . (Die Zwischenschritte empfehle ich dir selbst zu rechnen.)
Anfaenger2000



Anmeldungsdatum: 24.01.2019
Beiträge: 5

Beitrag Anfaenger2000 Verfasst am: 27. Jan 2019 10:39    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für den Darstellungsfreien Lösungsweg!
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