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xi
Anmeldungsdatum: 06.04.2018
Beiträge: 9
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 xi Verfasst am: 27. Nov 2018 12:22 Titel: Bewegungsgleichung Pendel (Lagrange, Potentielle Energie) |
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Hallo,
ich versuche gerade zu verstehen, wie die Lagrangefunktion für das Ebene Pendel der Länge l im R^3 aufgestellt wird. Mir ist klar, dass man als verallgemeinerte Koordinaten Polarkoordinaten wählt, da dann die Zwangsbedingung:
 automatisch erfüllt ist. Also kann man die Bahnkurve so beschreiben:
 \\ cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} )
Mit z=0 ist damit auch die Zwangsbedingung erfüllt, dass das Pendel in der ebene schwingt.
Nun soll für die potentielle Energie gerade ) gelten.
Woher kommt dieses "-"? Ich verstehe die Bedeutung dahinter gerade nicht so ganz, will man damit die potentielle Energie negativ bzw. positiv machen?
Zuletzt bearbeitet von xi am 27. Nov 2018 13:22, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2018 13:10 Titel: |
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Für ein Pendel im 3-dim. Raum kannst du nicht einfach die z-Koordinate vernachlässigen.
Ich denke, du betrachtest eine Kleinwinkelnäherung und die Projektion auf die xy-Ebene, aber da verstehe ich deine Logik nicht.
Die Zwangsbedingung in der Ebene kann doch aber wiederum nicht auf feste Länge l in der Ebene führen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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xi
Anmeldungsdatum: 06.04.2018
Beiträge: 9
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| xi Verfasst am: 27. Nov 2018 13:21 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für ein Pendel im 3-dim. Raum kannst du nicht einfach die z-Koordinate vernachlässigen.
Ich denke, du betrachtest eine Kleinwinkelnäherung und die Projektion auf die xy-Ebene, aber da verstehe ich deine Logik nicht.
Die Zwangsbedingung in der Ebene kann doch aber wiederum nicht auf feste Länge l in der Ebene führen. |
Hm, also ich versuche die Inhalte aus diesem Skrikpt (S.4 /5)
https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_PH0005_02_course.pdf
nachzuvollziehen...
Achso ich habe bei meinem Vektor r die Länge l vergessen, dass ergänze ich noch. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2018 13:32 Titel: |
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Hier handelt es sich jedoch nicht um ein Pendel im R³ sondern im R². Alternativ ein Pendel im R³, das auf die Ebene z=0 eingeschränkt wird.
Ich hatte dich so verstanden, dass ein Pendel im R³ über der Ebene R² betrachtet wird. War ein Missverständnis.
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xi
Anmeldungsdatum: 06.04.2018
Beiträge: 9
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| xi Verfasst am: 27. Nov 2018 13:35 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Hier handelt es sich jedoch nicht um ein Pendel im R³ sondern im R². Alternativ ein Pendel im R³, das auf die Ebene z=0 eingeschränkt wird.
Ich hatte dich so verstanden, dass ein Pendel im R³ über der Ebene R² betrachtet wird. War ein Missverständnis. |
Achso, tut mir leid, dass ich es nicht präziser beschrieben habe. Ist dir klar, wieso man nun ein negatives Vorzeichen bei der potentiellen Energie setzen muss? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2018 13:50 Titel: |
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In der Ruhelage mit Auslenkungswinkel Null ist auch die Höhe y gleich Null.
Mit
folgt
 = mgy = mg - mg\cos\phi)
Den konstanten Term mgl im Potential kann man weglassen, es bleibt
 = - mg\cos\phi)
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xi
Anmeldungsdatum: 06.04.2018
Beiträge: 9
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| xi Verfasst am: 27. Nov 2018 13:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | In der Ruhelage mit Auslenkungswinkel Null ist auch die Höhe y gleich Null.
Mit
folgt
Den konstanten Term mgl im Potential kann man weglassen, es bleibt
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Ach herrje, das hatte ich am Anfang auch raus, dass es (1-cos(phi)) sein müsste und habe gedacht man hat irgendwelche Annahmen über phi gemacht, so dass was anderes rauskommt, wie ärgerlich...
Und wieso kann man nun den konstanten Term weg lassen? Also klar, in der Lagrange-Gleichung würde er ohnehin "wegdifferenziert" werden, aber wenn man nun allgemein die potentielle Energie bestimmt ist das egal? Ohne die Konstante können ja negative Energien entstehen, ist das zulässig? |
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xi
Anmeldungsdatum: 06.04.2018
Beiträge: 9
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| xi Verfasst am: 27. Nov 2018 15:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | In der Ruhelage mit Auslenkungswinkel Null ist auch die Höhe y gleich Null.
Mit
folgt
Den konstanten Term mgl im Potential kann man weglassen, es bleibt
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Ich habe noch einmal darüber nachgedacht und es kommt mir dennoch spanisch vor. In der Ruhelage gilt doch
= l*\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} )
das heißt, dass Pendel steht so zu sagen senkrecht nach oben und der Abstand wird maximal, also y=l..?
Ich verstehe deine Überlegung, aber müsste man dann nicht auch den Ortsvektor anders definieren, so dass alles konsistent bleibt?
Zuletzt bearbeitet von xi am 27. Nov 2018 16:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2018 16:02 Titel: |
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Energie sind immer relativ zu einem gewählten Nullpunkt zu verstehen. Stell' das Pendel auf eine Turm, dann hat es sofort eine größere potentielle Energie.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Nov 2018 16:24 Titel: |
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| xi hat Folgendes geschrieben: | | … das Pendel steht so zu sagen senkrecht nach oben ... |
Nach unten :-)
 = l - l\cos 0^o = l - l = 0)
 = l - l\cos 180^o = l - (-l) = 2l)
| xi hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe deine Überlegung, aber müsste man dann nicht auch den Ortsvektor anders definieren, so dass alles konsistent bleibt? |
Wieso?
Über die betrachtete Abmessung ist g sicher konstant.
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xi
Anmeldungsdatum: 06.04.2018
Beiträge: 9
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| xi Verfasst am: 27. Nov 2018 16:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Energie sind immer relativ zu einem gewählten Nullpunkt zu verstehen. Stell' das Pendel auf eine Turm, dann hat es sofort eine größere potentielle Energie. |
Ok, das habe ich verstanden, die Definition der Energie ist insofern eine "Geschmacksfrage"...
Aber was ist nun mit der Definition des Ortsvektors? (Mein Beitrag oben war vorhin leider nicht lesbar, sorry) Meiner Meinung nach müsste der Ortsvektor
 \\ -cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} )
lauten, dann wäre auch alles "konsistent", ist das also ein Fehler im Skript, oder habe ich einen Denkfehler?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | xi hat Folgendes geschrieben: | | … das Pendel steht so zu sagen senkrecht nach oben ... |
Nach unten :-)
| xi hat Folgendes geschrieben: | | Ich verstehe deine Überlegung, aber müsste man dann nicht auch den Ortsvektor anders definieren, so dass alles konsistent bleibt? |
Wieso?
Über die betrachtete Abmessung ist g sicher konstant. |
Ich verstehe, dass das mit der Länge so Sinn macht, aber wenn man 0 Grad in den Ortsvektor einsetzt, kommt man ja nicht auf (0,-l,0) sondern eben auf (0,l,0) :/ |
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