Wellenfunktion identischer Teilchen

b4ckflip · Gast

Meine Frage:
Hallo, es geht um folgende Aufgabe bei der ich momentan nicht weiterkomme:

a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Einteilchenwellenfunktionen ?±(x) die normierte Gesamtwellenfunktion
des Zweiteilchensystems, wenn es sich bei den beiden Teilchen (i) um Bosonen und
(ii) um Fermionen handelt. Geben Sie die Normierung explizit an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Energie des Zweiteilchensystems sowohl fur den bosonischen als auch den fermionischen Fall.

Die Wellenfunktion eines Teilchen ist bei + a und die des anderen
bei ? a lokalisiert und wird jeweils über

beschrieben.

Meine Ideen:
Um die Gesamtwellenfunktion zu bestimmen habe ich nun einfach das Produkt von beiden Wellenfunktionen genommen und ausgerechnet.
Teil b) bereitet mir allerdings Probleme. Um den Erwartungswert der Energie berechnen zu können müsste man ja den Hamilton Operator kennen, allerdings weiß ich nicht genau wie ich diesen formulieren soll.

Kann mir jmd. weiterhelfen oder hat eine Idee ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18066

Bei a) musst du das Produkt für Bosonen bzw. Fermionen symmetrisieren bzw. antisymmetrisieren

b4cklfip · Gast

Danke für den Tipp!

Die antisymmetrische Wellenfunktion, bestimmt über die Slater Determinante sieht nun so aus:

und die symmetrische so:

Darf man nun, um die Wellenfunktionen zu berechnen, die Variable x in der Einteilchenwellenfunktion durch

und

ersetzen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18066

Du meinst, symmetrischer bzw. antisymmetrischer Zustandsvektor sehen wie folgt aus

Auf die Kennzeichnung (1),(2) für die Teilchen kannst du verzichten, da Teilchen 1 bzw. 2 an der ersten bzw. zweiten Position im Zustand notiert ist.

Im Falle von zwei Teilchen kannst du die beiden Fälle außerdem kompakter und gemeinsam darstellen.

Auf das psi habe ich verzichtet; es ist klar, was gemeint ist.

Bei der Wellenfunktion gilt für den ersten Term (zweiter analog)