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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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 Picassodrücker Verfasst am: 29. Okt 2018 18:13 Titel: Wärmekapazität in Debye-Näherung |
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Hallo,
ich lerne gerade aus Gross, Marx: Festkörperphysik (2012) und bin auf S. 239 auf die folgende Formel für die Wärmekapazität in Debye-Näherung gestoßen:
^{3}} \frac{\partial}{\partial T} \sum_{i=1}^{3} \int_{0}^{q_{D}} 4 \pi q^{2} \frac{\hbar v_{i} q}{e^{\hbar v_{i} q / k_{B} T} - 1} \mathrm{d}q )
mit dem Betrag des Debye-Wellenvektors  und der Schallgeschwindigkeit des i-ten Dispersionszweiges  . So weit, so gut. Nun wird die mittlere Schallgeschwindigkeit  definiert über:
Damit soll man nun folgende Gleichung erhalten:
Vielleicht übersehe ich etwas ganz Offensichtliches, aber mir ist einfach nicht klar, wie man über die Definition von von der 1. auf die 3. Gleichung kommt. Vielleicht kann mich ja jemand auf den richtigen Weg führen  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 29. Okt 2018 19:09 Titel: |
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mhh.. schöne Frage eine Umformung, die ganz und gar nicht offensichtlich ist, aber eigentlich recht einfach ist... wenn man weiß wie es geht. Hab es nicht nachgerechnet, aber bin mir recht sicher:
1. Im ersten Integral sollte das wohl eigentlich d^3q sein (vgl. Ashcroft, Mermin Gleichung (23.16)).
2. Im Ashcroft, Mermin steht auch der entscheidende Hinweis (in Deiner Notation): "If we make the change of variables  ..." ... noch korrekter wäre wohl "changes of variables".
Hoffe das hilft. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 29. Okt 2018 20:28 Titel: |
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So, wie ich es sehe, wurden da einfach etwas salopp die 3 Summanden mit den vi durch ein „mittleres“ vs ersetzt, wobei dieses vs nicht genau der Definition, wie sie weiter oben im Buch gemacht wurde, entspricht. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 29. Okt 2018 20:34 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | So, wie ich es sehe, wurden da einfach etwas salopp die 3 Summanden mit den vi durch ein „mittleres“ vs ersetzt, wobei dieses vs nicht genau der Definition, wie sie weiter oben im Buch gemacht wurde, entspricht. |
Deine erste Antwort war mMn richtiger  |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 29. Okt 2018 21:12 Titel: |
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Weiter oben im Buch/Skript wird tatsächlich die von Dir (jh8979) beschriebene Substitution gemacht. Aber hier kann ich das irgendwie nicht erkennen. Es scheint wirklich, als wurden einfach die vi durch ein vs ersetzt. Allerdings hab ich im Moment nicht den Kopf dazu, um solche Dinge zu überlegen, deshalb auch meine mehrmals gelöschten Beiträge... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 29. Okt 2018 21:41 Titel: |
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Das ist ja das interessante an dieser Umformung... es sieht nach Ersetzen/Schummeln aus... ist es aber nicht |
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 30. Okt 2018 00:23 Titel: |
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Danke euch! Mit der Umformung  komme ich tatsächlich aufs richtige Ergebnis:
^{3} \int_{0}^{\Theta_{D} / T} dx \frac{x^{4} e^x}{(e^{x} - 1)^{2}} )
mit der Debye-Temperatur  , indem man durch die Substitution einen Faktor von  erhält, der in der Summe dann  ergibt.
Wie man auf die Gleichung von oben kommt, ist mir zwar nach wie vor völlig unklar, aber auch nicht so wichtig, ist ja nur ein Zwischenschritt... Mit der Substitution  führt sie jedenfalls auch zum richtigen Ergebnis, also scheint schon das "richtige" verwendet worden zu sein. Seltsam jedenfalls trotzdem irgendwie...
Apropos, weiß zufällig jemand, wie man den Ausdruck für  motiviert? Ich hab die Formel öfters gesehen, aber noch keine richtige Erklärung gefunden, warum das die mittlere Schallgeschwindigkeit ergeben soll... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 30. Okt 2018 11:53 Titel: |
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| Picassodrücker hat Folgendes geschrieben: |
Wie man auf die Gleichung von oben kommt, ist mir zwar nach wie vor völlig unklar, |
Welche Gleichung? Die erste?
| Zitat: |
Apropos, weiß zufällig jemand, wie man den Ausdruck für motiviert? Ich hab die Formel öfters gesehen, aber noch keine richtige Erklärung gefunden, warum das die mittlere Schallgeschwindigkeit ergeben soll... |
Es gibt viele verschiedene Arten Mittelwerte zu definieren. Siehe z.B. hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert#Weitere_Mittelwerte_und_ähnliche_Funktionen
Hier taucht halt gerade diese Kombination auf und die hat die Eigenschaft, dass wenn alle Schallgeschwindigkeiten gleich sind, dann hat dieses Mittel auch diesen Wert. Ist also irgendeine Form von Mittelwert. |
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 30. Okt 2018 14:32 Titel: |
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Alles klar, danke!
Nein, ich meinte die 3.:
Ich hab die ursprüngliche Gleichung einfach zuerst nach T differenziert und dann substituiert, wodurch man  erhält, was dann eben  ergibt und sich somit durch  ausdrücken lässt. Wie man das in den Zähler bzw. ins Exponential bekommt wie in der obigen Gleichung, ist mir nach wie vor nicht klar, aber ist mMn auch nicht so wichtig... |
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