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Nachricht |
Calcu
Gast
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 Calcu Verfasst am: 28. Okt 2018 17:11 Titel: Wegintegrale im Coulombfeld |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe das Zentralpotenzial einer Punktladung Q im Ursprung gegeben, in dem eine Punktladung q von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 bewegt wird. Dabei liegen P1 und P2 auf einem Kreis und Q und man soll für
zwei verschiedene Wege im Kraftfeld die dabei verrichtete Arbeit explizit über Wegintegrale berechnen:
a) Der Weg wird geradlinig von P1 nach P2 zurückgelegt.
b) Der Weg wird dem Kreisstück von P1 nach P2 folgend zurückgelegt.
Meine Ideen:
Wahrscheinlich stehe ich einfach auf dem Schlauch, denn eigentlich weiß ich, wie man die Arbeit über Wegintegrale berechnet:
Dabei ergibt sich aus dem bekannten Coulombpotenzial
 =\frac{1}{4\pi \epsilon _0} \frac{Q}{r} )
das Kraftfeld:
Ich hab aber einfach keine Ahnung, wie ich meine Wege parametrisieren muss, um die Wegintegrale explizit ausrechnen zu können. Bei b) vermute ich, dass die Arbeit einfach Null sein muss, weil sich P1 und P2 ja auf einem Kreis befinden, d.h. q bewegt sich auf einer Potentiallinie. Aber wie muss ich den geradlinigen Weg von P1 nach P2 für das Arbeitsintegral parametrisieren, wenn ich die Lösung explizit über Integrale herleiten soll? Danke im Voraus. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5873
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| Myon Verfasst am: 28. Okt 2018 18:48 Titel: |
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Wenn der Weg geradlinig ist wie in a), muss man ja fast kartesische Koordinaten verwenden. Die Parametrisierung selber ist nicht schwer, man kann z.B. wählen
=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}, t\in\left[0,1\right])
Das Berechnen der Arbeit,
)\cdot\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\,\dd t)
würde hingegen sehr schwierig werden. V.a. ist das Ganze, wenn es wirklich verlangt ist, schon etwas sinnlos, denn niemand käme auf die Idee, die Arbeit bei bekanntem Potential auf diese Weise zu berechnen (hier ist es ja ohnehin klar, dass W=0). Man könnte noch annehmen, dass der Weg parallel zu einer Koordinatenachse führt (durch Drehen des Koordinatensystems kann man das immer erreichen), dann folgt aus Symmetriegründen, dass das Integral verschwindet. |
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Calcu
Gast
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| Calcu Verfasst am: 28. Okt 2018 19:57 Titel: |
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Aber das gegebene Potenzial bzw. Kraftfeld ist ja radialsymmetrisch, d.h. eigentlich ist es eher für Polarkoordinaten angelegt. Kann man denn einfach
und seinen Betrag in die Formel von  für  und  einsetzen oder braucht man noch eine Transformation der Koordinaten? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 29. Okt 2018 10:42 Titel: |
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(ich lasse im folgenden alle Vektorpfeile weg; F und r sind immer vektorielle Größen)
Zunächst mal ist das Wegintegral im Coulombfeld - einem Gradienten- bzw. Potentialfeld - für alle geschlossenen Wege Null. Außerdem ist aus dem selben Grund das Wegintegral im Coulombfeld lediglich abhängig von Anfangs- und Endpunkt, d.h. wegunabhängig. Für zwei feste Punkte P1, P2 sowie beliebige Wege C zwischen diesen Punkten gilt also
 = \int_{P_1}^{P_2} dr\,F = \int_C dr\,F )
Zur Parametrisierung hat Myon schon das wesentliche geschrieben:
Seien R1 und R2 die Ortsvektoren der Punkte P1 und P2.
Dann gilt für den geradlinigen Weg
 = R_1 + t (R_2 - R_1))
 = R_1; \; r(1) = R_2 )
mit
Für den Weg entlang eines Kreisbogens benötigst du die Polarkoordinaten, d.h.
 )
 = |R|\cdot(\cos t; \sin t) )
Für das Wegintegral gilt
) )
| Calcu hat Folgendes geschrieben: | | Aber das gegebene Potenzial bzw. Kraftfeld ist ja radialsymmetrisch, d.h. eigentlich ist es eher für Polarkoordinaten angelegt. |
Deswegen ist die Berechnung des Integrals entlang einer Kreislinie auch recht einfach; du kannst erst mal die allgemeine Darstellung vereinfachen ohne gleich die explizite Form der Vektoren einzusetzen (*)
Aber für den geradlinigen Weg ist das nicht so einfach, denn der Weg respektiert nun mal nicht die Symmetrie des Potentials. Entweder darfst du mit Wegunabhängigkeit argumentieren - dann benötigst du dieses Integral nicht, oder du sollst explizit zeigen, wie diese Berechnung funktioniert - dann musst du sie halt durchführen.
Und nur dadurch lernst du was :-)
(*) die Kraft ist proportional zum Ortsvektor
Andererseits hast du im Integral
Aber es gilt auch
Wie hilft die das weiter?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Calcu
Gast
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| Calcu Verfasst am: 29. Okt 2018 14:45 Titel: |
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Das Wegintegral über das Kreisstück habe ich inzwischen aufstellen können, mein großes Problem ist weiterhin das Wegintegral über den geradlinigen Weg. Es ist mir anschaulich klar, dass die Arbeit hier auch Null sein muss, aber beim expliziten Nachrechnen komme ich nicht auf das erwartete Ergebnis.
Ich habe die Parametrisierung
t \\ y_1+(y_2-y_1)t \end{pmatrix}, t \in [0,1] )
t)^2+(y_1+(y_2-y_1)t)^2} )
nun in das Wegintegral eingesetzt und versucht mit
umzuformen:
) \, \dd \vec r = \int \! \frac{Qq}{(4\pi \epsilon _0)}\cdot \frac{\vec {r}}{r^3} \, \dd \frac{\vec r}{dt}dt =\int_0^1 \! k\cdot \frac{\vec {r}}{r^3}\cdot \dot{\vec r} \, \dd t =\int_0^1 \! \frac{k}{2r^3}\cdot 2\dot{\vec r} \vec r \, \dd t =\int_0^1 \! \frac{k}{2r^3}\cdot \frac{\dd }{\dd t} \vec{r}^2 \, \dd t
<br />
=\int_0^1 \! k\cdot \frac{(x1+t(x2-x1)(x2-x1)+(y1+t(y2-y1))(y2-y1)}{((x1+t*(x2-x1))^2+(y1+t*(y2-y1))^2)^\frac{3}{2}} \, \dd t
<br />
)
Aber wie ich dieses Monster von einem Integral ausrechnen soll, weiß ich nicht. Selbst meine Rechenprogramme scheitern daran. Gibt es hier noch eine clevere Umformung des Terms, die weiterhelfen könnte? Oder habe ich die Parametrisierung des Weges falsch verwendet? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 29. Okt 2018 17:24 Titel: |
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| Calcu hat Folgendes geschrieben: | | Das Wegintegral über das Kreisstück habe ich inzwischen aufstellen können ... |
Aufgrund meines letzten Hinweises sollte unmittelbar klar sein, dass das Integral Null ist, da
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Calcu
Gast
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| Calcu Verfasst am: 29. Okt 2018 18:42 Titel: |
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Gilt das aber auch beim geradlinigen Weg? Wenn ich da die Parametrisierung
mit
quadriere und nach t ableite, kommt ja nicht null raus.
Es leuchtet mir ein, dass das Ergebnis auch beim geradlinigen Weg Null sein muss. Aber ich soll dieses Ergebnis explizit mit einem Wegintegral nachrechnen. Und da komme ich leider nicht weiter als oben beschrieben. |
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