Potential im elektrischen Feld

Ahnungsloser23145 · Gast

Meine Frage:
Ich habe mir ein Übungsbuch gekauft und löse ein paar Aufgaben, wobei ich bei einer die Lösung nicht verstehe.

Die Aufgabe ist folgende:

Es gelte:

Daraufhin habe ich ein paar Aussagen, deren Gültigkeit ich checken soll.
Eine davon ist: A und B liegen auf der gleichen Äquipotentialfläche, wobei die Antwort 'kann zutreffen' ist.

Das verwirrt mich leider etwas, weil soweit ich weiß Punkte auf derselben Äquipotentialfläche liegen, wenn sie dasselbe Potential haben. Die Aussage davor war, dass die beiden Punkte dasselbe Potential haben, und die Lösung dafür war 'Trifft immer zu'.

Nun stellt sich mir die Frage, wieso das nicht immer zutrifft.

Meine Ideen:
Verständnisfrage

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Es gelte

für eine Kurve C mit Anfangs- und Endpunkt a, b.

Nehmen wir an, E sei ein Gradientenfeld mit

Dann gilt für einen beliebigen Tangentenvektor t „in“ einer Äquipotentialfläche S

denn der Gradient ist gerade ein Normalenvektor n zur Äquipotentialfläche S mit

Wenn aber zwei Punkte auf derselben Äquipotentialfläche S liegen, dann existieren stetige Kurven C in S, die die beiden Punkte verbinden.

Jede solche Kurve C hat in jedem Punkt P entlang C einen Tangentenvektor t_P und damit gilt

So ein infinitesimaler Tangentenvektor ist aber gerade ds; d.h. aus „... auf derselben Äquipotentialfläche ...“ folgt

was eine viel stärkere Bedingung als

gilt.

Die beiden Punkte können aber auf verschiedenen, nicht miteinander verbundenen Äquipotentialflächen S_a, S_b mit identischen Potential liegen - stell dir die Schalen einer Zwiebel vor. Das ist bereits ausreichend dafür, dass das Integral verschwindet.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Wenn wir nun annehmen, dass E kein reines Gradientenfeld ist, dann wäre es zudem denkbar, dass beide Punkte nicht auf gleichem Potential liegen, dass sich jedoch der Gradienten- und der Wirbelfeldanteil von E bei der Integration gerade wegheben.

Ahnungsloser23145 · Gast

Hey Tom,

danke für die Antwort! Da konnte ich auch gleich erkennen, dass ich Vektorintegration nicht ganz verstanden hatte. Ich bin erst am Anfang des Lernens, weshalb ich momentan eher in simplen Feldern denke. Unterschiedliche Äquipotentialflächen mit denselben Potentialen konnte ich mir nur schwer vorstellen, aber ich glaube ich habe es jetzt. Das mit der Zwiebel hat mich allerdings verwirrt, da denke ich eher an eine Punktladung. grübelnd

Mit den Begriffen Gradienten- und Wirbelfeld kann ich momentan auch noch nichts anfangen. Da denke ich drüber nach, wenn es soweit ist.

Jedenfalls vielen Dank für deine Zeit und Hilfe!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Denk mal zweidimensional, d.h. in Äquipotentiallinien.

Und nimm als Beispiel das Gravitationsfeld. Das Integral über E entlang der Kurve C liefert die potentielle Energie. Das gilt im Falle des Gravitationsfeldes genauso wie im Falle des statischen elektrischen Feldes.

Dem Potential entspricht dann die Höhe der Berge und Täler in der Landschaft, eine Äquipotentialfläche wird zu einer Höhenlinie auf einer Landkarte.

Offensichtlich gibt es viele Orte in den Bergen, die auf der selben Höhe liegen, ohne dass sie auf der selben Höhenlinie liegen.