Teilchen im Kasten

cpbk3 · Anmeldungsdatum: 06.08.2018 Beiträge: 5

Hallo, ich versuche gerade mittels Teilchen im Kasten Modell die Anregungsenergien eines Moleküls zu bestimmen, aber hab da gerade eine kleine Denkblockade.

Ein Energielevel berechne ich ja mittels

Die Anregungsenergie für den Übergang zwischen zwei Energielevels ist dann

wenn

und

.

Möchte ich nun die Energie des ersten optischen Übergangs für ein Molekül mit 6 pi-Elektronen berechnen, dann müsste ich die Schalen ja zuerst mit diesen Elektronen auffüllen und berechne dann den Übergang HOMO->LUMO. Nun mein Problem, beim Teilchen im Kasten schau ich mir das ganze ja 1D an, sprich jedes Energieniveau kann nur zwei Elektronen aufnehmen. Dann würde das für mein Molekül mit 6 Elektronen ja bedeuten, dass die Anregungsenergie für den HOMO-LUMO-Übergang

entspricht.

Lieg ich da richtig oder hab ich einen Denkfehler gemacht?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Was sind 6 pi-Elektronen? Meinst du Elektronen im p-Zustand bzw. mit l = 1? Es gibt keine diesbzgl. Quantenzahl in einem 1-dim. System, da die Quantenzahl l = 0,1,2,...,n-1 bzw. die Zustände s,p,d,... aus dem Drehimpuls resultiert. Ein Drehimpuls L existiert in einer Dimension jedoch nicht, d.h. es existieren letztlich nur s-Zustände.

Die Zustände deines Systems sind demnach ausschließlich durch die Quantenzahl n = 1,2,3, ... bzw. 1s, 2s, 3s, ... gegeben. Der Zustand für jedes n kann mit max. zwei Elektronen besetzt sein.

Was bedeutet HOMO und LUMO?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

cpbk3 · Anmeldungsdatum: 06.08.2018 Beiträge: 5

@TomS In diesem Fall von pi-Elektronen zu sprechen war vielleicht etwas voreilig, da ich nichts weiter über mein System gesagt hab. Was ich eigentlich beabsichtige ist es die Anregungsenergien für ein Molekül mit konjugierten Doppelbindungen mittels Teilchen im Kasten Modell zu approximieren. Und mit pi-Elektron meine ich dabei nur, dass die Elektronen delokalisiert vorliegen.

Aber zurück zum eigentlichen Problem. Ich möchte mit dem Teilchen im Kasten Modell die Anregungsenergien für die niedrigsten drei optischen Übergänge berechnen. Wenn mein Molekül nun 6 Elektronen hat, dann wären im Grundzustand 1s, 2s und 3s voll besetzt. Der erste optische Übergang wäre dann der von 3s auf 4s. Der Übergang von 3s auf 5s ist nicht möglich, da die Oszillatorstärke hierbei - wenn ich sie denn mit den WeFu der Übergänge vom Teilchen im Kasten Modell bilde - null wird und somit folglich verboten ist. Also wäre der nächst mögliche und physikalisch sinnvolle 2s auf 5s. Der dritte und letzte optische Übergang kann dann mit 3s auf 6s wieder passieren.

Worum es mir jetzt eigentlich geht ist ob die Übergänge die ich eben beschrieben habe den drei niedrigsten optischen entsprechen. grübelnd

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Idee passt soweit.

Zeig doch mal explizit deine Berechnung zu den Übergangsmatrixelementen

cpbk3 · Anmeldungsdatum: 06.08.2018 Beiträge: 5

Also meine Berechnung für das Übergangsdipolmoment nimmt die WeFu der Schrödingergleichung für ein Teilchen im Kasten als Grundlage:

Substituieren mit

und integrieren liefert dann:

Danach sind nun die Übergänge verboten bei denen die Differenz zwischen m und n gerade ist, da das ganze dann null wird. Somit wären die niedrigsten energetisch erlaubten Übergänge
N auf N+1
N-2 auf N+1
N-1 auf N+2
mit N als Quantenzahl des HOMO im Grundzustand.

Demnach wären auf mein Beispiel mit den 6 Elektronen angewandt die drei niedrigsten optischen Übergänge

3 -> 4
1 -> 4
2 -> 5

Sollte so stimmen oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067