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Geschwindigkeitsverteilung Elektron in Orbital
 
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3xT
Gast





Beitrag 3xT Verfasst am: 24. Jan 2018 18:48    Titel: Geschwindigkeitsverteilung Elektron in Orbital Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hi, wie bestimmt man eigentlich die Geschwindigkeitsverteilung eines Elektrons in einem Orbital?

Meine Ideen:
Zurzeit habe ich hierzu leider nicht wirklich eigene Ideen. Kann jemand helfen?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jan 2018 21:24    Titel: Re: Geschwindigkeitsverteilung Elektron in Orbital Antworten mit Zitat

3xT hat Folgendes geschrieben:
wie bestimmt man eigentlich die Geschwindigkeitsverteilung eines Elektrons in einem Orbital?

Das Elektron ist kein punktförmiges Teilchen, ihm kommt kein fester Ort und keine feste Geschwindigkeit zu.

Im Rahmen der Quantenmechanik spricht man auch nicht mehr von Orbitalen sondern von Zuständen. So entspricht z.B. das 1s-Orbital dem Zustand mit den Quantenzahlen n = 1, l = 0, m = 0.

Man verwendet in der QM letztlich immer den Impuls p anstelle der Geschwindigkeit v = p/m. Für einen beliebigen Zustand kann der Erwartungswert <v> der Geschwindigkeit v sowie von Potenzen k derselben mittels der Wellenfunktion berechnet werden. Im Wasserstoffatom setzt man dazu in



die Wellenfunktionen zu den jeweiligen Zuständen ein.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Jan 2018 23:11, insgesamt 2-mal bearbeitet
3xT
Gast





Beitrag 3xT Verfasst am: 24. Jan 2018 22:12    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

danke dir für deine Ausführungen.

Zwei Fragen noch dazu:

1) warum betrachtest du v^k und nicht einfach v? Was sagen denn Potenzen der Geschwindigkeit aus?

2) Was bedeutet der zweite Ausdruck (nach dem ersten Gleichheitszeichen)? Ich wäre gleich vom ersten zum dritten Ausdruck gesprungen (Def. des Erwartungswertes).
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 24. Jan 2018 23:02    Titel: Antworten mit Zitat

^n durch ^k ersetzt, um Verwechslungen mit der Hauptquantenzahl zu vermeiden.

3xT hat Folgendes geschrieben:
1) warum betrachtest du v^k und nicht einfach v? Was sagen denn Potenzen der Geschwindigkeit aus?

Betrachte der Einfachheit halber reine s-Zustände, d.h. l = m = 0 für beliebige n. Für diese gilt aufgrund der Rotationssymmetrie (mit v als vektorieller Größe)



Nun könnte man meinen, die Geschwindigkeit sei tatsächlich Null. Das ist jedoch nicht der Fall, denn



d.h. das Elektron befindet sich nicht in Ruhe.

3xT hat Folgendes geschrieben:
2) Was bedeutet der zweite Ausdruck (nach dem ersten Gleichheitszeichen)? Ich wäre gleich vom ersten zum dritten Ausdruck gesprungen (Def. des Erwartungswertes).

Ein Zustandsvektor ist basisfrei, während die Wellenfunktion



die Projektion des Zustandes auf den Basisvektor bezeichnet, d.h. die Wellenfunktion entspricht letztlich der Gesamtheit der Komponenten von bzgl. der Basis



Die Wahl der Basis ist physikalisch irrelevant und kann alleine aufgrund praktischer Gesichtspunkte erfolgen. Z.B. liefert die Projektion auf p-Zustände die Wellenfunktion im Impulsraum, die mittels Fouriertransformation aus der Wellenfunktion im Irtsraum folgt u.u.


Vergleiche mit 3-dim. Vektoren: ist ein basisfreie Vektor, während die x-, y- und z-Komponenten



bzgl. der Basis



bezeichnen.


In der Quantenmechanik spricht man von Dirac- oder auch bra-ket-Notation.

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3xT
Gast





Beitrag 3xT Verfasst am: 25. Jan 2018 07:48    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank! Das hat mir schon sehr geholfen.

Dennoch verstehe ich noch nicht ganz, was dieser zweite Ausdruck mit dem nlm auf beiden Seiten des v^k aussagt. Ist nlm dann die Basis? Und warum steht das dann auf beiden Seiten und nicht bloß auf einer, wie bei deinem Beispiel das x?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jan 2018 09:17    Titel: Re: Geschwindigkeitsverteilung Elektron in Orbital Antworten mit Zitat



besagt, dass der Erwartungswert von v^k im Zustand |nlm> berechnet werden soll.

3xT hat Folgendes geschrieben:
Ist nlm dann die Basis? Und warum steht das dann auf beiden Seiten und nicht bloß auf einer, wie bei deinem Beispiel das x?

Nein, nlm ist nicht die Basis, sondern der spezifische Zustand. Der Ausdruck ist basisfrei.


Stell dir vor, du berechnest



für einen Vektor a und eine Matrix M. Dieser Ausdruck ist basisfrei.

Nun führst du die o.g. Basisvektoren ein; daraus resultieren Komonenten bzw. Indizes die Indizes i=x,y,z für den Vektor a sowie für die Matrix M. Daraus folgt



Die rechte Seite wird in der Quantenmechanik mit einen "kontinuierlichen Basis" |x> zu einem Integral über die Orte x; das wäre soetwas wie



Im o.g. Fall wird aus dem Doppel- ein Einfachintegral; das ist eine spezielle Eigenschaft des Operators p.


Frage: kennst du den Begriff "Einschieben der Eins"?

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3xT
Gast





Beitrag 3xT Verfasst am: 25. Jan 2018 10:03    Titel: Antworten mit Zitat

D.h. die ersten beiden Ausdrücke (beim Erwartungswert) bedeuten genau das gleiche und sind einfach unterschiedliche Schreibweisen?

Den Zusammenhang vom Erwartungswert zu der Basis sehe ich leider noch nicht. Wäre die Basis dann bei uns dann also das r?

"Einschieben der Eins" habe ich so noch nie gehört, aber es kling so ähnlich wie die "Addition der Null", was man ja in der Mathematik gerne macht.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17902

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Jan 2018 13:27    Titel: Antworten mit Zitat

3xT hat Folgendes geschrieben:
D.h. die ersten beiden Ausdrücke (beim Erwartungswert) bedeuten genau das gleiche und sind einfach unterschiedliche Schreibweisen?

Fast das gleiche.

Ist dir der Unterschied zwischen einem Vektor und seinen Komponenten klar?

3xT hat Folgendes geschrieben:
Den Zusammenhang vom Erwartungswert zu der Basis sehe ich leider noch nicht.

Physikalische Größen wie z.B. der Erwartungswert sind zunächst unabhängig von einer Basis; letztere wird jedoch für konkrete Berechnungen oft herangezogen.

In der QM ist der 1s-Zustand mit dem Zustandsvektor z.B. unabhängig davon, ob du eine Wellenfunktion in der Orts- oder der Impulsdarstellung wählst. Letztere kannst du so wählen, wie es dir rechentechnisch am einfachsten erscheint.

3xT hat Folgendes geschrieben:
Wäre die Basis dann bei uns dann also das r

Das r steht für den Ortsvektor oder die Radialkoordinate; wird anhand der Schreibweise nicht klar. Mögliche Basen im Hilbertraum habe ich oben genannt.

3xT hat Folgendes geschrieben:
"Einschieben der Eins" habe ich so noch nie gehört ...

Machen wir dazu einen eigenen Thread auf und schließen hier die Fragen zum Erwartungswert ab.

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