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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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 Aristo Verfasst am: 17. Jan 2018 13:23 Titel: Erwartungswert der Entfernung zum Nukleus.Volumenintegrat.? |
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Meine Frage:
Die Frage: Berechnen Sie jeweils den Erwartungswert des Abstandes vom Nukleus zum Elektron
<r> in Einheiten des Bohr?schen Atomradius. Für die auftretenden Integral können
Sie gerne Tabellen/Computer benutzen. Bitte notieren Sie das in der Lösung.
Zunaechst: Gerne nutze ich den Computer fuer die Integrale, nur muss/moechte ich a) verstehen wie es funktioniert und b) ich kenne keine Programm. Genuegt Wolfram Alpha?
Meine Ideen:
Die Erste Wellenfunktion lautet:
= \frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^3} } e^{\frac{-r}{a_{0}} } )
Index 100 (nlm) steht fuer die Quantisierungen von denen die Funktion abhaengt. n= quantisierung aus bohr, l= n-1 , m(=-l bis +l oder)= 0
a_0 = Bohrradius welcher die maximale raeumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit angibt
r= Entfernung vom Ursprung
Der Erwartungswert entspricht dem Integral ueber das Volumen von der Wellenfunktion multipliziert mit der komplex konjugierten Wellenfunktion.
Ist folgende Annahme so richtig:
Da Kugelkoordinaten:
das Integral von r=0 bis 8 meint eines von r=0 bis unendlich.
r^2 sin rho ist das Kugelvolumenelement (richtig?)
Ist dieses Integral schon "Computertauglich" und ueberhaupt richtig gedacht?
Wieso integriere ich ueber \mu ohne dass vorher eines vorhanden ist?
Ist die Teilaufgabe schon geloest wenn das Integral berechnet wurde?
Vielen Dank im Voraus! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 17. Jan 2018 13:58 Titel: Re: Erwartungswert der Entfernung zum Nukleus. Wie integrier |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: |
das Integral von r=0 bis 8 meint eines von r=0 bis unendlich.
r^2 sin rho ist das Kugelvolumenelement (richtig?) |
Ein Volumenelement wäre, in Deiner Notation,  . (Du verwendest etwas unübliche Variablen, meist werden hier  verwendet.)
Die Variable  taucht im Integranden nicht auf, da die Wellenfunktion nicht von dieser Variablen abhängt. Wird die Integration ausgeführt, ergibt sich einfach ein Faktor  .
Zum Integranden: Du musst über  integrieren -  entspricht der räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte. Integrierst Du darüber, ergibt sich 1, wenn die Wellenfunktion entsprechend normiert ist. Es fehlt also noch ein Faktor r in Deinem Integranden, und im Argument der Exponentialfunktion ein Faktor 2. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 18. Jan 2018 13:26 Titel: |
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Diese Variablen habe ich auch aufgeschrieben aber nicht bei latex gefunden.
warum kommt noch ein r mit rein? das fehlt in meiner folgenden argumentation
Faktor 2 im Exponenten fehlte und wurde hinzugefuegt.
Verstanden bis zum Punkt:
 \int_{r=0}^8 \! e^{\frac{-2r}{a_0} } r^2 \, \dd r )
Das ergibt 1
Wenn das aber der Erwartungswert ist, hat jede Normierbare Funktion den Erwartungswert 1. Das ist ja quatsch.Muss ich die Funktion normieren? Laut Skript normiere ich diese Fkt indem ich den e-Therm*r^2 ableite und anschliessend von 0 bis unendlich ueber r integriere. Am Ende habe ich einen Wert fuer A, der hier doch schon bekannt ist und den Faktor vor der e-Funktion darstellt oder nicht? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 18. Jan 2018 15:17 Titel: |
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Die Wellenfunktion ist bereits normiert. Der Vorfaktor  ist durch die Normierung bestimmt, also dass das Integral von über den gesamten Raum gleich 1 ist.
Das macht ja auch Sinn, denn |^2) ist gleich der Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt des Elektrons am Ort ) , und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das Elektron irgendwo im Raum befindet, ist gleich 1.
Für den Erwartungswert fehlt wie erwähnt ein Faktor r. Ganz allgemein wird der Erwartungswert einer Variablen doch gebildet durch das Integral über das Produkt von Variable und Dichtefunktion, siehe speziell für die QM hier. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 20. Jan 2018 13:36 Titel: |
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Also wenn ich das richtig verstehe fahre ich gut wenn ich so vorgehe:
1) betragsquadrat der Wellenfunktion bilden (/ komplex konjugierte Wellenfunktion mit der Funktion multiplizieren)
2) Multiplikation mit dem Volumenelement ( r^2 sin dr dphi domegaa)
3) Integral lösen bis auf r
4) für den Erwartungswert ein r hineinmultiplizieren und anschließend das Integral über r (0-unendlich) lösen
5) alle r Werte lasse ich wegfallen wenn ich das Ergebnis habe? und nun habe ich ein Verhältnis des Bohrschen Radius a_0 |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 20. Jan 2018 14:08 Titel: |
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Ja, das kann man so machen. Aber was meinst Du mit „alle r-Werte lasse ich wegfallen...“ in Punkt 5? Für den Erwartungswert von r ergibt sich ein fester Wert (in Einheiten von a_0). |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 20. Jan 2018 14:57 Titel: |
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Damit sind die Terme mit r in der Klammer gemeint. Das Integral dieser Terme ergibt jeweils null (für r=unendlich wird die Exponentialfunktion=0, für r=0 wird der Faktor r gleich null). Nur der letzte Term in der Klammer trägt zum Integral bei und liefert den gesuchten Wert. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 20. Jan 2018 15:04 Titel: |
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Super, vielen Dank!!  |
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