Teilchen im Topf

Optiker · Gast

Hallo,

Ich habe eine Frage zur Quantenmechanik und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Folgendes Problem liegt vor:

Man betrachte ein Teilchen im unendlich hohen Potentialtopf, d.h. es liegt ein Potential der Form

Die Lösung der Schrödingergleichung

konstruiere ich mit dem Ansatz:

wobei

Meine Anfangsbedingungen

geben mir nun aber zwei Lösungen aus. Die erste Lösung:

mit Energien

und die zweite Lösung

mit Energien

Jetzt habe ich beide Lösungen, die Linearkombination dieser Lösung ist aber doch keine (!) Lösung, weil die Energien sich da "spießen" würden (oder?). Die Frage ist nun, welche dieser beiden Lösungen nehme ich zur weiteren Rechnung? Ist die Schrödingergleichung bzgl. ihrer Lösungen nicht eindeutig?

Weiß jemand weiter?

MfG
Optiker

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18020

Generell ist die Betrachtung für [-L,+L] lästig, weil man mit zwei verschiedenen Funktionssystemen arbeiten muss. Schau dir doch mal die Lösung in y=x+L auf [-0,2L] an; dabei tritt ausschließlich der Sinus auf.

Zur Linearkombination: du konstruierst letztlich unendlich viele Lösungen. Aus diesen kannst du dann durch Superposition jede zulässige Funktion im Topf konstruieren, wobei diese Superpositionen i.A. keine Eigenfunktionen zu H mehr sind (auch eine Linearkombination verschiedener Sinusterme wäre keine Lösung). Aber jede einzelne Funktion und damit jeder einzelne Sinus- bzw. Cosinusterm für sich genommen ist jeweils eine Lösung. D.h. du setzt entweder A=0 oder B=0, und alles ist gut.

Optiker · Gast

Aha, das heißt, wenn ich die Zustände in dem System, in dem der Topf zwischen

liegt, der Energie nach ordnen will, dann wechseln sich die Energieeigenfunktionen bzw. die Energieniveaus ab, d.h. die niedrigste Energie ist die "Cosinus Energie" mit

, die zweit-niedrigste Energie ist die "Sinus Energie" mit

, die nächst-höhere Energie ist jene für den Cosinus mit

, usw. ... Das ist tatsächlich lästig smile

Aber ich denke, ich habe es nun verstanden, danke vielmals für deine Hilfe!

MfG
Optiker