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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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 bloebb Verfasst am: 07. Sep 2017 13:24 Titel: Potentielle Energie von Ladungen in einem elektrischen Feld |
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Hallo!
Ich habe leider wieder eine mathematische Frage.
Es geht um die potentielle Energie von Ladungen in einem elektrischen Feld. Hierzu gibt es ein Video: https://www.youtube.com/watch?v=z1ijgSkBl3Q siehe 6:10 bis 18:30
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Zuerst mal zu den Voraussetzungen. Es werden 2 Formeln benötigt:
1) Die potentielle Energie V an einem Punkt P ergibt sich aus einem Wegintegral:
 = \int_P^{P_0} \vec{F} \cdot d\vec{r})
mit Bezugspunkt  ,
dem Kraftfeld mit der vom Ort abhängigen Kraft  und
einem Ortsvektor  , der ein Tagentialvektor auf dem Weg ist
Wichtig ist hier das dot-Produkt. Das kann man sich auch sehr schön auf der folgenden Animation ansehen: https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral#/media/File:Line_integral_of_vector_field.gif
Eine andere Schreibweise:
 = - \int_{P_0}^P \vec{F} \cdot d\vec{r})
Hier bewegt man sich (potentiell) in die entgegengesetzte Richtung.
2) Die Kraft , die eine Ladung Q auf eine andere Ladung ("Probeladung") q ausübt (Coulomb'sches Gesetz):
mit r als Abstand zwischen den beiden Ladungen (r ist der Bertrag vom Ortsvektor )
Um nicht nur den Betrag von zu bekommen, sondern auch seine Richtung, wird einfach ein Einheitsvektor angehängt:
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Der Professor setzt in die potentielle Energie (die Variante mit dem -) das Coulomb'sche Gesetz folgendermaßen ein:
 = - \int_{\infty}^R (\frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * \frac{Q * q}{r^2}) \cdot d\vec{r})
Der Bezugspunkt liegt hier also im Unendlichen, und unser Punkt P liegt im Abstand vom Radius R von der Ladung Q entfernt.
Da stellt sich mir schon die erste Frage: warum find ich hier nicht den Einheitsvektor  ? Wieso setzt er nur den Betrag von ein statt dem vollständigen Vektor?
Nun wird die Formel umgewandelt und dann integriert. Diese Zwischenschritte lässt der Professor aus, ich versuche, die hier anzuschreiben.
Die Klammer kann man weglassen und die Konstanten vor das Integral ziehen:
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * \int_{\infty}^R \frac{1}{r^2} \cdot d\vec{r})
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * \int_{\infty}^R r^{-2} \cdot d\vec{r})
Nun integriert der Professor. Und hier habe ich das zweite Verständnisproblem. Er ignoriert nämlich das dot-Produkt im Integral. Für ihn geht es folgendermaßen weiter:
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * \int_{\infty}^R r^{-2} \ d\vec{r})
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * \frac{r^{-1}}{-1} |_{\infty}^R)
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * \frac{-1}{r} |_{\infty}^R)
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * (\frac{-1}{R} - \frac{-1}{\infty}))
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * Q * q * (\frac{-1}{R} + 0))
So kommt man dann schließlich auf die vom Professor angeschriebene Formel:
 = \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * \frac{Q * q}{R})
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Meine 2 Fragen hier nochmals in Kurzfassung:
1) Warum darf man den Einheitsvektor ignorieren?
2) Warum darf man das dot-Produkt ignorieren?
Würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2017 14:20 Titel: |
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Wahrscheinlich wurde dabei implizit etwas vorausgesetzt, was man eigtl. erst zeigen muss bzw. was letztlich aus dem Ergebnis eurer Herleitung folgt. Das elektrische Feld und damit auch die elektrische Kraft sind Potentialfelder, d.h. sie sind darstellbar als Gradient einer Potentialfunktion. Für derartige Potentialfelder ist ein beliebiges Wegintegral jedoch nur abhängig von den Endpunkten und ansonsten wegunabhängig (wenn der Integrationsweg in einem einfach zusammenhängenden Gebiet ohne Singularitäten verläuft). Damit kann man einen beliebigen Weg zwischen zwei Punkten (einer davon im Unendlichen) immer durch einen Kreisbogen (im Unendlichen) sowie einen rein radialen Weg ersetzen; letzteres ist genau das, was letztlich in deinen Formeln verwendet wird, ein Integral über dr/r^2.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 07. Sep 2017 14:47 Titel: |
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Das läuft alles unter dem Kapitel Elektrostatik. Hier ist also vorausgesetzt, dass man ein konservatives elektrisches Feld hat. Sofern man sich in so einem Feld irgendwie im Kreis bewegt, ist die Arbeit unabhängig davon, aus welchem Weg man sich bewegt hat.
Aber wie mir das weiterhilft, verstehe ich nun leider nicht.
Dass man nun einen beliebigen Weg wählen kann, verstehe ich. Das kann also auch ein Kreis sein. Aber den Rest verstehe ich leider nicht. Deswegen kann man den Einheitsvektor und dot-Produkt weglassen?? Kann man das irgendwie mathematisch vorführen, dass das erlaubt ist? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 07. Sep 2017 15:31 Titel: Re: Potentielle Energie von Ladungen in einem elektrischen F |
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| bloebb hat Folgendes geschrieben: | ...
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Da stellt sich mir schon die erste Frage: warum find ich hier nicht den Einheitsvektor ? Wieso setzt er nur den Betrag von ein statt dem vollständigen Vektor? |
Weil der Prof. den Faktor cos(0°)=1 des Skalarproduktes bereits berücksichtigt hat.
Das hast den obigen Ausdruck von der Tafel falsch abgeschrieben. An der Tafel steht
 = - \int_{\infty}^R (\frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * \frac{Q * q}{r^2})\cdot dr)
Das ist vollkommen richtig und nicht dasselbe, was Du aufgeschrieben hast. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2017 15:33 Titel: |
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Für den gewählten Weg gilt einfach
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 07. Sep 2017 17:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Für den gewählten Weg gilt einfach
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Machst du da eine Multiplikation? Was genau hast du da angeschrieben?
Eine Muliplikation oder ein dot-Produkt?
Dem Video nach würde ich raten, dass es das dot-Produkt sein soll. Aber wie kommst du auf das? |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 07. Sep 2017 17:31 Titel: Re: Potentielle Energie von Ladungen in einem elektrischen F |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Weil der Prof. den Faktor cos(0°)=1 des Skalarproduktes bereits berücksichtigt hat.
Das hast den obigen Ausdruck von der Tafel falsch abgeschrieben. An der Tafel steht
Das ist vollkommen richtig und nicht dasselbe, was Du aufgeschrieben hast. |
Stimmt, da hat er gar nicht den Vektor hingeschrieben. Allerdings kommt mir deine Variante seltsam vor.
Ganz allgemein gilt für ein dot-Produkt mit Winkel 0°:
 = a * b * 1 = a * b)
Das gilt aber nur, wenn der Winkel wirklich 0° ist. Das gilt nicht mehr, wenn er irgendeinen anderen Winkel hat, z. B. 180°. Kann das nicht auch der Fall sein, dass und  in entgegengesetzte Richtung zeigen?
Wenn 2 Ladungen gleichnamig sind (z. B. die beiden Ladungen Q und q sind positiv), dann stoßen sie sich voneinander ab. Dann gehe ich davon aus, dass und parallel sind und in die gleiche Richtung zeigen. Aber wenn 2 Ladungen nicht gleichnamig sind (z. B. Ladung Q ist positiv und Ladung q ist negativ), dann müssten meiner Meinung nach und in entgegengesetzte Richtung zeigen, oder? Der cos von 180° ist aber nicht 1, sondern -1.
Sofern sie wirklich immer nur in die gleiche Richtung zeigen können, müsste es dann aber so aussehen:
 = - \int_{\infty}^R (\frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * \frac{Q * q}{r^2}) * dr)
Also mit * statt  , oder?
Außerdem verunsichert mich noch etwas.
 ist mir klar, dass es ) ist. Allerdings habe ich hier nicht , sondern dessen Ableitung . Da gilt dann ähnliches? Man kann in einem dot-Produkt mit der Ableitung genau so arbeiten wie mit dem Vektor selbst? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2017 18:10 Titel: |
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Der Einheitsvektor stammt im Spezialfall des radialen Coulombfeldes gerade aus dem Kraftvektor. Und das Wegelement ist wiederum proportional zum Einheitsvektor.
Daraus folgt
 \, (f \, \hat{r}) = dr \, f)
da das Skalarprodukt der Einheitsvektoren gleich Eins ist.
In f steckt noch das Vorzeichen, also die Richtung der Kraft drin, um die Verwechslung mit F als Betrag des Vektors zu vermeiden.
Das Wegelement ist übrigens gerade dadurch definiert, dass es ein tangentialer Vektor an den Weg ist. Es weist also immer in Richtung des Weges. Und wenn sowohl das Kraftfeld als auch der Weg in radiale Richtung laufen, dann reduziert sich das Skalarprodukt zweier Vektoren auf das Produkt zweier Skalare.
Irgendwelche Rechenzeichen benötigst du nicht, da sowieso klar ist, wie Skalar mal Vektor oder Vektor mal Vektor multipliziert werden und da die Multiplikationen kommutativ sind. Lass' sie weg, du wirst irre mit den Sternchen und Punkten, spätestens wenn dann ein r noch deny Index i bekommt. Nur das Kreuzprodukt musst du explizit schreiben.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 07. Sep 2017 18:52 Titel: |
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Ich muss anscheinend mal klein anfangen, weil mir scheinbar noch gewisse Vorkenntnisse fehlen.
Sagen wir einfach mal, wir haben einen 2D-Raum: )
Wie geht das jetzt weiter, wenn ich so ein Beispiel durchrechnen will? Ich muss jetzt nur noch für r einen Skalarwert wählen? Und was ist dessen Ableitung? Und wonach leite ich ab. Ist das nicht immer 0?
P. S. Ich brauche den Unterschied zwischen * und , sonst verstehe ich überhaupt nichts mehr. Nächstes Jahr schaut das vielleicht schon anders aus, aber zum aktuellen Zeitpunkt verursacht das bei mir nur totales Chaos, wenn diese Operatoren fehlen. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 08. Sep 2017 09:55 Titel: |
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| bloebb hat Folgendes geschrieben: | ...
P. S. Ich brauche den Unterschied zwischen * und , sonst verstehe ich überhaupt nichts mehr.
... |
Da gibt es keinen Unterschied, wie TomS bereits ausgeführt hat. Ob Du *, oder gar nichts hinschreibst, ist haargenau dasselbe. Den Multiplikationsoperator * gibt es eigentlich gar nicht, er wird hier nur deshalb häufig verwendet, weil sich der Multiplikationspunkt ohne Verwendung des Formeleditors so schlecht darstellen lässt. Ob es sich bei dem Ergebnis der Multiplikation um einen Vektor oder einen Skalar handelt, hängt einzig von der Natur der beiden Faktoren ab. Handelt es sich bei beiden um einen Vektor, so ist das Ergebnis ein Skalar:
Dabei ist  der Winkel zwischen  und  .
Ist nur einer der beiden Faktoren ein Vektor, so ist das Produkt ebenfalls ein Vektor, z.B.
Dabei ist  der Einheitsvektor in b-Richtung.
Übrigens: Bei bzw.  handelt es sich nicht um eine Ableitung (Differentialquotient), sondern um einen infinitesimal kleinen Vektor in r-Richtung bzw. seinen Betrag. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 08. Sep 2017 10:17 Titel: |
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| bloebb hat Folgendes geschrieben: | Sagen wir einfach mal, wir haben einen 2D-Raum:
Wie geht das jetzt weiter, wenn ich so ein Beispiel durchrechnen will? |
Du musst mit dieser Basiswahl sehr vorsichtig sein.
Grundsätzlich gilt für Basisvektoren e_i sowie Koordinaten x_i bzgl. dieser Basis die Darstellung eines Vektors - hier speziell des Ortsvektors r:
Im hier vorliegenden Fall ist
gerade der radiale Einheitsvektor, sowie
die Radialkoordinate.
Skalarprodukte lassen sich damit letztlich immer auf die Basisvektoren zurückführen.
Und eine Ableitung steht da nirgendwo, wie GvC schon geschrieben hat. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 08. Sep 2017 17:19 Titel: |
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OK, damit wären meine beiden Fragen geklärt. Danke 
Aber noch eine Frage zum Drüberstreuen. Etwas, was ich öfters sehe, und wovon ich wirklich immer Bauchweh bekomme.
Ich habe nun die folgende Formel:
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * \frac{Q * q}{r^2} * \int_{\infty}^R \frac{1}{r^2} * dr)
Man beachte das * vor dem dr
Der Prof integriert nun ganz normal nach dr. Jetzt kommt diese Sache mit dem *, dem oder dem gar-nichts.
In der Schule lernt man die folgende Schreibweise, wenn man ein Integral anschreibt:
 = - \frac{1}{4 * \Pi * \epsilon_0} * \frac{Q * q}{r^2} * \int_{\infty}^R \frac{1}{r^2} \ dr)
Vor dem dr steht hier gar nichts.
So ein Integral besteht aus 3 Teilen:
- dem Integralszeichen mit (oder ohne) seinen Grenzen:
In diesem Fall: 
Diesen Teil zählt man zur Notation.
- dem Integranden:
In diesem Fall: 
Das ist die Funktion, die integriert werden soll.
- und (da ich nicht weiß, wie man den letzten Teil nennt) das Ding mit der Integrationsvariable
In diesem Fall: dr
r ist die Integrationsvariable.
Nun habe ich diesen letzten Teil dr immer ebenfalls als Teil der Integrals-Notation betrachtet. Aufgrunddessen ergab sich bei mir immer die zweite Schreibweise, also ohne einem * vor dem dr.
Andere betrachten das jedoch als einen Faktor, also etwas, womit der Integrand (mit *) multipliziert wird. Das entpricht hier also der zweiten Schreibweise, also mit * vor dem dr.
Habe ich das in der Schule falsch gelern, dass das dr gar keine Notation ist, sondern man es wirklich als Faktor betrachten muss, also - wenn man es ganz genau anschreiben will - vorher immer ein * hinzuschreiben muss? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Sep 2017 08:04 Titel: |
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Ignoriere das *, dann steht da dr/r^2, und alles is' gut. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 09. Sep 2017 10:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ignoriere das *, dann steht da dr/r^2, und alles is' gut. |
Nee, nicht wirklich. Denn r² steht nicht nur im Nenner des Integrals, sondern auch im Nenner des "konstanten" Faktors davor. Das kann nicht gut sein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 09. Sep 2017 10:31 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ignoriere das *, dann steht da dr/r^2, und alles is' gut. |
Nee, nicht wirklich. Denn r² steht nicht nur im Nenner des Integrals, sondern auch im Nenner des "konstanten" Faktors davor. Das kann nicht gut sein. |
Da hast du wieder mal recht. |
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