Physikalisches Pendel, minimale Schwingungsdauer

sunny_21 · Gast

Meine Frage:
Ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgaben:
Eine Kugel mit dem Radius R schwingt als ein physikalisches Pendel. Welchen Abstand muss die Drehachse vom Mittelpunkt der Kugel haben, damit die Periodendauer der Schwingung minimal wird?
Die Lösung soll 0,63R sein.

Meine Ideen:
Ich kenne die Formel für die Periodendauer mit

LaTeX korrigiert. Steffen
und habe für das Trägheitsmoment über den Satz von Steiner

eingesetzt.
Jetzt komme ich aber irgendwie nicht weiter, wie ich jetzt mein minimales a finde...

Freue mich über Hilfe! smile

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Bestimmung_von_Extremstellen_differenzierbarer_Funktionen

sunny_21 · Gast

Den Versuch das Ganze abzuleiten, hab ich schon gemacht. Bin damit aber nicht wirklich weitergekommen.
Wenn ich das Trägheitsmoment einsetze und kürze, steht bei mir noch

Wenn ich das jetzt ableite und gleich 0 setze, bekomme ich immer, dass a=0 sein muss

Liegt mein Fehler nur im Ableiten? Oder stimmt was mit dem Ansatz nicht

Auwi · Anmeldungsdatum: 20.08.2014 Beiträge: 602

Das Minimum der Schwingungsdauer dürfte für a<R im inneren der Kugel liegen.
Ich habe mal eine Kugel von R=0,1m durchgerechnet und erhielt dabei
a=0,063246 m und für eine Kugel mit R=1 m dann 0,63246 m.
T(Minimum) dürfte also bei a=0,63246 R liegen.
Die Periodendauer dieser 2. Kugel betrug T=2,256 s
Wenn der Aufhängepunkt auf der Kugeloberläche ist, beträgt T=2,374 s
Alle Aufhängepunkte ausserhalb der Kugel ergeben größere Periodendauern.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Auwi · Anmeldungsdatum: 20.08.2014 Beiträge: 602

Dein a=0 ist dann rchtig, wenn der Aufhängepunkt ausserhalb der Kugel liegen soll ! (Siehe mein vorangehendr Beitrag)

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Auwi · Anmeldungsdatum: 20.08.2014 Beiträge: 602

Da hast Du natürlich Recht. Wenn der Aufhängepunkt auf der Kugel liegt, ist nicht a=0, sondern die Fadenlänge = 0 Hammer

sunny_21 · Gast

Danke schonmal für eure Tipps, habe schon einige Fehler im ersten Versuch endeckt, aber es passt immernoch nicht. Vielleicht könnt ihr mir helfen, meinen Fehler zu finden

2 pi bleibt erstmal stehen, der Rest als Verkettung ableiten (innere Funktion =u)

Also insgesamt:

Da nur der letzte der Faktoren in dem Produkt 0 sein kann, setze ich 5a²=10r², bekomme dann aber für a Wurzel 2 und nicht 0,63

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

sunny_21 · Gast

Ich habs! Letzten kleinen Fehler gerade entdeckt. Danke euch allen!!! smile