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mokki
Anmeldungsdatum: 15.01.2016
Beiträge: 20
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18066
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 TomS Verfasst am: 23. Jul 2016 10:07 Titel: |
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Die Zeitentwicklung
 = e^{-iEt}\,u_E(x,0))
trifft nur für Energieeigenzustände zu.
Im allgemeinen Fall folgt als symbolische Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
 = e^{-iHt}\,\psi(x,0))
In deinem Fall liegt nun ein Superpositionszustand zweier Eigenzustände n = 1,2 vor. Damit folgt
 = e^{-iHt}\,[u_1(x,0) + u_2(x,0)] = e^{-iE_1t}\,u_1(x,0) + e^{-iE_2t}\,u_2(x,0))
Zuletzt bearbeitet von TomS am 23. Jul 2016 19:51, insgesamt einmal bearbeitet |
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mokki
Anmeldungsdatum: 15.01.2016
Beiträge: 20
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| mokki Verfasst am: 23. Jul 2016 16:50 Titel: |
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Danke für deine Antwort.
Ich denke ich kann nachvollziehen wie du es meinst. Außer, dass bei Dir immer  und nicht 
stehen müsste, oder?
Und in deiner letzten Zeile müsste eigentlich stehen:
 = e^{-iHt/\hbar} * [u_{1}(x,0) + u_{1}(x,0)] )
oder? also "0" anstelle von "t". Weil die Zeitabhängigkeit bringt ja das "e" in der Potenz mit.
Falls das so ist, könnte man es so berechnen:
 = \psi(x,0) * e^{-iE_{gesamt}t/\hbar } =
<br />
(\psi_{1} (x,0) + \psi_{2} (x,0) ) * e^{-iE_{gesamt}t/\hbar } =
<br />
\psi_{1} (x,0) e^{-iE_{1}t/\hbar } + \psi_{2} (x,0) * e^{-iE_{2}t/\hbar }
<br />
<br />
<br />
)
Nun setzem wir das  ein:
 =
<br />
\psi_{1} (x,0) e^{-i\pi } + \psi_{2} (x,0) * e^{i\pi }
<br />
= - \psi_{1} + \psi_{2}
<br />
)
Jetzt behaupte ich mal wieder was, nämlich:  ) und .
<br />
<br />
<br />
)
und nun muss ich nur noch folgendes Integral loesen um Aufgabe b) abzuschließen:
 - sin(\pi x/L))|^2 \, \dd x ) mit (b = L/2)
Und wenn ich das gemacht habe, komm ich auf den Wert: 0,076.
Schlussfolgerung:
Ergebnis von a) 0,92 ( hatte mich verrechnet) und b) 0,076. Resultat: Es ist zu diesem Zeitpunkt sehr unwahrscheinlich, das Teilchen in diesem Bereich zu finden. Gibts noch ne anschauliche Erklärung hierfür, außer dass es aufgrund der Rechnung unwahrscheinlich ist?
Danke
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18066
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| TomS Verfasst am: 23. Jul 2016 19:51 Titel: |
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| mokki hat Folgendes geschrieben: | ... dass bei Dir immer und nicht
stehen müsste |
In der theoretischen Physik werden häufig natürliche Einheiten mit hbar = c = 1 verwendet.
| mokki hat Folgendes geschrieben: | .Und in deiner letzten Zeile müsste eigentlich stehen:
oder? also "0" anstelle von "t". Weil die Zeitabhängigkeit bringt ja das "e" in der Potenz mit. |
Ja, das war ein Kopierfehler. Ich korrigiere das.
| mokki hat Folgendes geschrieben: | | Falls das so ist, könnte man es so berechnen ... |
Schreib's doch einmal allgemein für beliebige t hin. Dann siehst du auch, dass da kein E_gesamt vorkommen kann; der Superpositionszustand ist kein Energieeigenzustand.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18066
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| TomS Verfasst am: 23. Jul 2016 20:02 Titel: |
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\right|^2 = \left|e^{-iE_1t}\,u_1(x,0) + e^{-iE_2t}\,u_2(x,0)\right|^2 = |u_1(x,0)|^2 + |u_2(x,0)|^2 + \left[e^{-i(E_1-E_2)t}\,u_2^\ast(x,0)\,u_1(x,0) + \text{c.c.}\right]
<br />
)
Die ersten zwei Terme für t = 0 hast du schon berechnet. Für die letzten beiden Terme musst du das Integral nur einmal berechnen, das zweite folgt mittels komplexer Konjugation. Dann schau dir die Zeitabhängigkeit der resultierenden Funktion an.
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mokki
Anmeldungsdatum: 15.01.2016
Beiträge: 20
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| mokki Verfasst am: 24. Jul 2016 18:21 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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So. c.c. =
t}\,u_1^\ast(x,0)\,u_2(x,0) \right] )
| Zitat: | | Die ersten zwei Terme für t = 0 hast du schon berechnet. |
Genau. Term 1 + Term 2 = 0,5
| Zitat: | | Für die letzten beiden Terme musst du das Integral nur einmal berechnen, das zweite folgt mittels komplexer Konjugation. |
Beispeilhaft für den dritten Term gilt:
t}\,u_2^\ast(x,0)\,u_1(x,0) \right] \, \dd x = \int_0^b \! \frac{1}{L } sin(\frac{\pi x}{L} )* sin(\frac{2\pi x}{L}) * e^{i( E_{2} - E_{1} ) * t / \hbar } = \frac{1}{L} * e^{i( E_{2} - E_{1} ) * t / \hbar } * \frac{2L}{3\pi } = \frac{2}{3\pi } * e^{i( E_{2} - E_{1} ) * t / \hbar } \, )
mit b = L/2
Das Ergebnis des Integrals des vierten Terms ("c.c") lautet: (wie von dir erwähnt, das komplex-konjugierte des 3. Terms)
 * t / \hbar } \, )
Interessieren tut uns ja die Summe der 4 Terme, also:
 * t / \hbar } \,+\frac{2}{3\pi } * e^{-i( E_{2} - E_{1} ) * t / \hbar }
<br />
\, )
Da setzt man nun alles ein was man gegeben hat, also:
Damit ergibt sich die Summe:
Damit habe ich das gleiche Ergebnis bekommen wie bei meiner Antwort gestern um 16:50, mit dem Unterschied, dass ich zuerst "t" eingesetzt habe, und dann die Integrale gelöst habe. Sollte ja auch das gleiche rauskommen, da das Integral ja unabhängig von "t" gelöst werden kann, da über "x" integriert wird.
Ist das richtig?
Vielen Dank nochmal für Deine Mühe
Lg
mokki
Zuletzt bearbeitet von mokki am 24. Jul 2016 23:01, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18066
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| TomS Verfasst am: 24. Jul 2016 22:51 Titel: |
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Du hast ganz zu Beginn das i im Exponenten vergessen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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mokki
Anmeldungsdatum: 15.01.2016
Beiträge: 20
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| mokki Verfasst am: 24. Jul 2016 23:05 Titel: |
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Nur in diesem forum, sorry. Beim rechnen per Hand waren alle "i" dabei. Hab's ausgebessert.
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mokki
Anmeldungsdatum: 15.01.2016
Beiträge: 20
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| mokki Verfasst am: 29. Jul 2016 10:44 Titel: |
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Hey,
Kannst du mir bitte noch sagen, ob das was ich geschrieben/gerechnet habe richtig ist?
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