Topologie von Magnetfeldern

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18138

Das Thema wurde kurz in einem anderen Thread gestreift. Ich würde gerne einige Ideen zur Diskussion stellen, da ich mir nicht absolut sicher bin, ob ich richtig liege.

Wir betrachten einen kompakten, leeren Raumbereich, d.h. statt des R³ z.B. den 3-Torus T³, einen 3-dim. Ball B³ der außen durch ein supraleitendes Material begrenzt wird, oder einen kompaktifizierten Zylinder ebenfalls mit einem begrenzenden Supraleiter.

Innerhalb dieses Raumbereiches befinden sich
a) eine Zylinderspule = Solenoid in Form eines Knotens, der an einer Stelle aufgeschnitten wurde:
https://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory
oder
b) ein getwistetes Solenoid-Bündel = ein spezieller "aufgeschnittener Zopf":
https://en.wikipedia.org/wiki/Braid_group
Beide Anordnungen erzeugen ein Magnetfeld.

Die Magnetfeldlinien bilden zwischen den beiden dicht benachbarten Enden des Solenoids bzw. des Solenoid-Bündels einen in sehr guter Näherung zylinderförmigen Flussschlauch.

Nun werde der Knoten entknotet bzw. das Solenoid-Bündel entdrillt. Dieser Vorgang gehe dabei adiabatisch vor sich, d.h. dass in guter Näherung die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen vernachlässigt werden kann.

Meine Argumentation lautet nun wie folgt: in jedem Raumbereich, der von dem Magnetfeld durchsetzt wird, bleibt das Magnetfeld bei diesem Vorgang glatt. Da die Anordnungen a) "Solenoid + Flussschlauch" bzw. b) "Solenoid-Bündel + Flussschlauch" vorher topologisch betrachtet verknotet bzw. verdrillt waren und da die adiabatische Änderung dies nicht ändert, sind beide Anordnungen auch nachher verknotet bzw. verdrillt. Da der Solenoid bzw. das Solenoid-Bündel nachher gerade = unverknotet sowie unverdrillt sind, muss der Knoten bzw. der Twist zwingend in die Magnetfeldkonfiguration gewandert sein.

Ich denke, rein topologisch ist die Argumentation unmittelbar nachvollziehbar, d.h. wenn wir die Feldlinien als (zunächst) geschlossene Schleifen annehmen, dann bleiben sie im Zuge dieser Operation geschlossen; und damit entstehen der genannte Knoten bzw. Twist in der Magnetfeldkonfiguration.

Allerdings würde das im Rahmen der Magnetostatik bedeuten, dass die o.g. Magnetfeldkonfigurationen als weitere, topologisch nicht-triviale Lösungen der Maxwellgleichung

existieren müssten. Damit sollten sie konstruierbar bzw. berechenbar sein, ohne vorher die o.g. Operation durchlaufen zu haben.

Fragen: Existieren diese Lösungen mathematisch tatsächlich? Wenn nein, an welcher Stelle der o.g. Operation wird die nicht-triviale Magnetfeldkonfiguration zerstört? Muss ich doch die Elektrodynamik mit betrachten?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18138

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ML · Anmeldungsdatum: 17.04.2013 Beiträge: 3405

Hallo TomS,