Carrerabahnen und Topologie

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Ich habe mir “ebene” Carrerabahnen *) angesehen und versucht herauszufinden, unter welchen Voraussetzungen die Spuren der beiden Fahrzeuge identische Länge haben.

Unter der Annahme, dass alle Kurven aus Kreisbögen mit unterschiedlichen Radien und Winkeln bestehen, findet man die Bedingung

d.h. alle Winkel summieren sich zu Null.

OK.

Nun möchte ich dies auf beliebige **) ebene Kurven X(s) verallgemeinern. Mittels der Frenet-Serret-Formeln erhält man

kappa steht für die orientierte Krümmung, T für den Tangenten-Einheitsvektor, J für eine 90°-Rotation, s für die Bogenlänge und der Punkt für die Ableitung nach s.

Dieses Ergebnis deutet an, dass eine Art topologische Invariante vorliegt; die Frage ist lediglich, welche? Offenbar hat dies etwas mit der Anzahl der Selbstüberschneidungen der Kurve zu tun: während für eine kreisförmige Bahn sowie alle deren Deformationen mit null Kreuzungen ***) keine gleichen Strecken vorliegen, ist dies für eine achtförmige Bahn sowie alle deren Deformationen mit einer Kreuzungen immer der Fall. Hat jemand eine Idee oder einen Hinweis auf weitere Lektüre?

*) d.h. dass Brücken keine Kurven enthalten dürfen; bzw. dass mathematisch mit Kreuzungen statt Brücken gearbeitet wird
**) d.h. dass ich einen Torsions-Term weggelassen habe
***) in der Realität Brücken statt Kreuzungen

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Perfekt, danke!!

EDIT: Posts korrigiert, da war eine Ableitung zu viel

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Um hier zu Ende zu bringen:

Für eine Carrerabahn mit (geschlossener) Mittellinie C und zwei Spuren im Abstand d von C haben beide Spuren genau dann die selbe Länge, wenn für die Tangentenumlaufzahl

der Kurve C gilt, dass

Die Tangentenumlaufzahl bzw. das Integral für die Totalkrümmung von C ist - bis auf einen Proportionalitätsfaktor - identisch zur Streckenlängendifferenz der beiden Spuren.

Da die Tangentenumlaufzahl eine topologische Invariante ist, gilt dies mit der ursprünglichen Kurve C für alle zu dieser regulär homotopen Kurven der selben Äquivalenzklasse, d.h. für beliebig deformierte Bahnen, die die selbe Tangentenumlaufzahl Null wie die ursprüngliche Bahn aufweisen.

EDIT: Die Tangentenumlaufzahl von C entspricht der Windungszahl des Tangenteneinheitsvektors, d.h.