Gaußscher Integralsatz

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Guten Abend,

ich hatte heute meine erste Vorlesung in Theoretischer Physik. Dort fiel das relativ schnell der Begriff " der Satz von Gauß ".

Mir fehlt es schwer die Gleichung richtig nachzuvollziehen. Unter dem Begriff Divergenz kann mir grob etwas vorstellen.

Könnte mir bitte jemand den Satz erklären. Am besten anhand der Gleichung die auf ein einfaches und verständliches Beispiel angewendet wird.

Mit freundlichen Grüßen

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich würde es anders herum versuchen: Der Satz von Gauß gibt Dir eine anschauliche Interpretation der Divergenz. Fließbach Band 2 und Feynman Lectures Band 2 gehen auch darauf ein. Auch im Bronstein steht etwas dazu.
Und zwar folgt aus dem Satz von Gauß, daß für die Divergenz eines Vektorfelds F am Punkt x gilt:

Das heißt, Du nimmst geschlossene Flächen, die ein immer kleiner werdendes Volumen beranden, und bestimmst den Fluß von F durch die Fläche (stell Dir vor, das Vektorfeld wäre eine Stromdichte, dann gibt der Fluß die Netto-Stromstärke durch die Fläche an, also wie viel Ladung pro Zeit in das Volumen fließt bzw. es verläßt). Dieser Fluß, geteilt durch das Volumen von V, liefert im Grenzfall unendlich kleiner Volumina die Divergenz.
Die Divergenz läßt sich daher als Flußdichte interpretieren.

Zur Erinnerung: Der Satz von Gauß lautet

Der Satz von Gauß sagt somit, daß der Netto-Fluß durch den Rand von V gleich dem Volumenintegral über die Flußdichten ist.

Ähnlich kannst Du mit dem Satz von Stokes die Rotation eines Vektorfeldes als Wirbeldichte interpretieren.

Vergleiche mal ein paar Feldlinienbilder mit der Maxwell-Gleichung

(bzw.

, wenn ich mich richtig erinnere^^), das sollte zur Intuition helfen.