Stokesscher Integralsatz

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Hallo,

gilt der Stokessche Integralsatz nur für die Ebene, nur für den Raum oder beides wie bei Gauß?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Hallo shadow07

Hast Du schon einmal vom Cartan'schen Differentialkalkül gehört? Dies behandelt die Integralrechnung etwas anders als man es gewohnt ist. Hier existiert eine grundlegende Formulierung des Satzes von Stokes:

Dies ist die allgemeinste Form des Satzes. Von dem Gebiet M wird gefordert, daß es einfach zusammenhängend ist, d.h. es darf keine "Löcher" haben, und der Rand glatt ist. Das kann also eine Fläche, ein Volumen oder auch etwas höherdimensionales sein.

Die bekanntesten Spezialfälle sind der Satz von Stokes (heißt leider genauso):

und der Satz von Gauß:

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shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Hallo magneto42,

was ist denn letztendlich der Sinn des Satzes von Stokes? Bzw. was genau berechne ich damit?

Die mathematische Erklärung bzw. Definition habe ich leider nirgends verstanden.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Der Satz von Stokes ist einfach ein mächtiges Werkzeug der Vektoranalysis. Wenn Du genau hinschaust, wird die Dimension, nach der Integriert wird um eins erniedrigt. Ein Raumgebiet wird auf eine Oberfläche und eine Fläche wird auf die Umrandung der Fläche zurückgeführt.

Als Beispiel betrachte die Ladungsverteilung in einem vorgegebenen Raumgebiet. Du kannst jetzt Volumenelement für Volumenelement nach Quellen und Senken (Divergenzen) absuchen um die Gesamtladungen zu finden. Oder Du schaust Dir an was an Feldlinien die abgeschlossene Oberfläche durchstößt; auch das führt zwangsläufig zur Gesamtladung.

Beide Betrachtungen sind äquivalent und führen auf dasselbe Ergebnis. Der Rechenweg kann aber für die eine Form sehr steinig sein, während er für die andere ein Zweizeiler ist.

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Man hat also ein zusammenhängendes Gebiet M, welches durch einen positiv orientierten Rand dM abgeschlossen ist. Mit dem Satz von Stokes integriere ich über diesen Rand (dem Ringintegral) und dem gegebenen Vektorfeld.

Beim Satz von Gauß habe ich nur noch ein Volumen V und kein Gebiet M mehr?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Der Begriff "Gebiet" ist umfassender als nur eine Fläche; es kann auch ein Volumen sein. Allgemein gilt

Zitat aus dem Bronstein:
"Es sein M eine n-Dimensionale reelle orientierte kompakte Mannigfaltigkeit mit dem kohärent orientierten Rand

M"

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Jo, soweit klar.

Ist mit V beim Satz von Gauß auch ein Gebiet gemeint? Wenn ja, unterscheiden sie sich ja nur für in der Rotation und der Divergenz des Vektorfeldes.

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Ja,

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Gute Schlußfolgerung Thumbs up!

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shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Was bedeutet in dem Zusammenhang eigentlich

? Das liest man in der Definition des Satzes von Stokes und Gauß. Ist damit ein komplexes Vektorfeld in der Ebene gemeint?

magneto42 · Anmeldungsdatum: 24.06.2007 Beiträge: 854

Mit

ist die Glattheit des Feldes gemeint. Es besagt, daß alle Komponenten des Vektorfeldes sich zweimal stetig ableiten lassen. Anschaulich gesehen soll die Oberfläche keine Knicke aufweisen (Versetzungen verbieten sich ganz). Ansonsten muß man die Gebiete bzw. die Ränder davon aufteilen und einzeln Integrieren. Beispiel dafür ist ein Würfel, wo man jede Fläche einzeln untersuchen muß.

shadow07 · Anmeldungsdatum: 08.04.2007 Beiträge: 371

Ah ok, gut zu wissen Thumbs up!