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aaabbb
Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 509
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 aaabbb Verfasst am: 23. Nov 2015 18:59 Titel: Hohlzylinder rollt schiefe Ebene hinab. Endgeschwindigkeit? |
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Hi, wir sollen die Endgeschwindigkeit eines Hohlzylinders angeben, der eine schiefe ebene herabrollt.
Mein Ansatz:
Potentielle Energie=Translationsenergie+Rotationsenergie
mgh=0,5mv^2 + 0,5Jw^2
J ist das Trägheitsmoment und w die Winkelgeschwindigkeit.
Nun gilt für das Trägheitsmoment:
J=0,5m*(r_innen^2+r_außen^2)*w^2
Nun muss ich noch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen.
Die ist ja normal v/r. Nun haben wir aber 2 verschiedene r.
Meine Theorie wäre r_außen, da da ja der Zylinder rollt.
Wenn ich das einsetze komme ich aber nicht auf die Musterlösung von
V=Wurzel (gh).
Kann mir jemand helfen? |
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Max Cohen
Anmeldungsdatum: 13.04.2014
Beiträge: 280
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| Max Cohen Verfasst am: 23. Nov 2015 20:51 Titel: |
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Der Ansatz ist richtig allerdings solltest du beachten was  nun darstellt. Es handelt sich um die Bewegung des Massenschwerpunktes. Deshalb ist es sinnvoll das auch dabei zu schreiben.
Nun gilt wie du bereits weißt 
^2)
Jetzt nur noch nach  auflösen und für das Trägheitsmoment  einsetzen. |
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aaabbb
Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 509
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| aaabbb Verfasst am: 24. Nov 2015 19:32 Titel: |
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Aber was ist R dann?
Es macht doch einen Unterschied, ob man den inneren oder äußeren oder den Radius des Masseschwerpunktes nimmt. Die Rollgeschwindigkeit bezieht sich ja auf den äußeren Radius (über den rollt ja der Zylinder).
Und zudem gilt ja für das gesamte Drägheitsmoment, dass das die Summe aus allen Drägheitsmomenten ist.
m*R^2 bezieht sich aber nur auf einen bestimmen Punkt?
Warum muss man dann nicht J=0,5m*(r_innen^2+r_außen^2)*w^2 setzen?
Ds ist ja das trägheitsmoment des gesamten Hohlzylinders. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. Nov 2015 10:23 Titel: |
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| aaabbb hat Folgendes geschrieben: | Warum muss man dann nicht J=0,5m*(r_innen^2+r_außen^2)*w^2 setzen?
Ds ist ja das trägheitsmoment des gesamten Hohlzylinders. |
Es kommt darauf an, was in der Originalaufgabe gegeben ist, also ob es sich um einen dickwandigen Hohlzylinder mit ri und ra (= R) oder um einen sehr dünnwandigen Hohlzylinder handelt. Max Cohen ist von einem sehr dünnwandigen Hohlzylinder ausgegangen. Für den ist das Trägheitsmoment J=m\cdot R². |
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aaabbb
Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 509
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| aaabbb Verfasst am: 25. Nov 2015 11:56 Titel: |
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Ok, also wenn es sich um einen dünnwandigen Hohlzylinder handelt, kann man sagen, dass r dem r des Masseschwerpunktes entspricht (also r_außen - r_innen)? Das r der Winkelgeschwindigkeit (eigentlich r_außen) ist dann auch etwa dem r des Massepunktes.
Das sind dann die Vereinfachungen, die man treffen kann. Oder?
Wenn es ein dickwandiger Hohlzylinder ist, kann man diese Vereinfachung nicht machen. Man muss also meine genannte Formel für das Trägheitsmoment einsetzen.
Die Winkelgeschwindigkeit wäre ja dann v/r. Das r ist hier dann der äußere Radius. Denn auf dem rollt ja der Zylinder.
Wenn man das dann einsetzen würde, käme man auf de Formel:
mgh=0,5mv^2 + 0,5(0,5m*(r_innen^2+r_außen^2)*w^2)*(v/r_außen)^2
Ok?
Ich denke es würde mir beim Verstehen helfen, wenn ihr den Lösungsweg für einen dickwandigen Zylinder zeigen könntet. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. Nov 2015 14:16 Titel: |
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| aaabbb hat Folgendes geschrieben: | | Ich denke es würde mir beim Verstehen helfen, wenn ihr den Lösungsweg für einen dickwandigen Zylinder zeigen könntet. |
Entsprechend der bekannten Musterlösung ist es in dieser Aufgabe zwar ein sehr dünnwandiger Hohlzylinder, aber wenn Du denn unbedingt willst ...
Man geht natürlich genauso vor wie bei einem dünnwandigen Hohlzylinder.
mit
)
Da würde ich zunächst mal ra² ausklammern, damit man später die Rollbedingung gut einsetzen kann.
^2\right))
Einsetzen in den Energieerhaltungssatz
^2\right)\cdot \omega^2)
m kürzen und Rollbedingung  einsetzen:
^2\right))
^2\right)=v^2\cdot \left(3+\left(\frac{r_i}{r_a}\right)^2\right))
^2}})
Wenn Du hier die Bedingung für einen dünnwandigen Hohlzylinder
einsetzt, erhältst Du sofort die Musterlösung der hier gestellten Aufgabe
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aaabbb
Anmeldungsdatum: 26.09.2013
Beiträge: 509
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| aaabbb Verfasst am: 25. Nov 2015 15:17 Titel: |
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Vielen vielen Dank!!!!!
Also war meine zuvor geschilderte Überlegung mit den verschiedenen Radien richtig.
Ich denke ich habe alles an deinem Rechenweg verstanden.
Trotzdem werde ich das nachher mal versuchen ohne deinen Rechenweg nachzurechnen.
Nochmals vielen Dank für alle Antworten  |
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