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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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 joe1 Verfasst am: 28. Okt 2015 01:43 Titel: Beispiel zu Differentialgleichungen |
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Guten Abend,
im Anhang befindet sich ein Beispiel. Naja mir ist diese Aufgabenstellung nicht ganz klar. Es sind zwei Bewegungsgleichungen gegeben und ich soll eine von diesen integrieren.
1. Heißt das nun auf v(t) bzw. x(t) auflösen?
2. Was beschreibt die 1. gegeben Dgl. und die 2.? Ich denke Nr.1 ist der Ort x und Nr. 2 die Geschwindigkeit v.
Würde mich freuen, wenn ihr mir zum Einstieg in dieses Beispiel helfen würdet.
LG
joe1
| Beschreibung: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2015 06:32 Titel: |
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In der Mechanik bedeuten x,v,a den Ort, die Geschwindigkeit sowie die Beschleunigung; v bzw. a sind die erste bzw. zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit, angedeutet durch den Punkt bzw. den Doppelpunkt.
Die Bewegungsgleichung folgt üblicherweise aus F = ma, wobei F eine für das Problem spezifische Kraft ist, hier die geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte.
Die vorliegende Kraft ist x-unabhängig, daher kann man die DGL zweiter Ordnung in x in eine erster Ordnung in v umwandeln. Diese lässt sich im vorliegenden Fall (nicht unbedingt allgemein!) durch Separation der Variablen integrieren.
Häufig bezeichnet man das Lösen einer DGL als Integration, auch wenn dies nicht per Integral geschieht.
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 28. Okt 2015 08:25 Titel: |
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OK, danke.
D.h. ich löse mit Hilfe der seperation die dgl und lasse dann t gegen null und unendlich laufen bei v(t), richtig?
Mit limes bekommt man dann einen wert, aber mittels taylor-polynom kann man herausfinden, wie sich v(t) annähert. Abrrbmir ist nicht ganz klar, wie das mit Taylor-Reihe funktionieren soll. Soweit ich weiß nimmt man nur das linieare Glied oder?
Abet warum?
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 28. Okt 2015 09:05 Titel: |
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Hallo,
um die Endgeschwindigkeit v für t = unendlich zu bestimmen, brauchst Du die DGL gar nicht zu lösen. Die Endgeschwindigkeit ist ja konstant, und daher ist die Beschleunigung  Null. Nun kannst Du ganz einfach nach der Endgeschwindigkeit  auflösen und erhälst:
Bei Geschwindigkeiten nahe t=0 kann der Term der geschwindigkeitsabhängigen Luftreibung  vernachlässigt werden. Durch einmaliges Integrieren kommst Du dann auf:
Gruß
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 28. Okt 2015 17:01 Titel: |
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Okay danke, Frage zum Lösen der Dgl:
Also folgendes:
Links kommt C raus und rechts muss man substituieren:
)
Für u einsetzen und ln "wegmachen":
Frage: Stimmmt das erstmal so?
Aber wie kann ich jetzt auf v umformen? Irgendetwas muss ich falsch gemacht haben oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 28. Okt 2015 18:42 Titel: |
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Zunächst solltest du das immer mit bestimmten Integrale ansetzen, d.h.
)
Das Integral links liefert nicht C, sondern t:
 - F(v_0))
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 29. Okt 2015 23:21 Titel: |
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Ok, danke. Es müsste nun stimmen, hab mich wieder eingelesen in die Integralrechnung etc.
^2}\dd v )
Substutition:
 - artanh(\sqrt{\frac{a}{b}}v_0)\})
\cdot b\sqrt{\frac{a}{b}})\cdot \sqrt{\frac{b}{a}}+v_0 = v(t))
Hm naja das war ja jetzt nicht schwer, aber ich verstehe den physikalischen Teil nicht wirklich. Naja, um die Grenzwertbetrachtung einfeicher zu machen könnte man den tanh in e-Funktionen zerlegen, dass wie folgt aussieht:
=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x+e^{-x}}) Naja, wenn x gegen Unendlich geht, dann steht da 1/1, was für tanh(x->unendlich)=1 ergibt, also wenn sich gegen unendlich geht, geht der Funktionswert gegen 1 und überbleiben tut der Term  oder?
Und bei x->0 geht doch der Funktionswert gegen v0, aber hier soll eine Näherung durch Taylorpolynome weiter helfen. Aber ich verstehe nicht, was das bringen soll. Eine Taylorreihe hat doch unendlich Terme und je mehr Terme, desto mehr nähert sich diese Reihe der Originalfunktion an. Was bringt mir das, aber bei der Grenzwertbestimmung?
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 30. Okt 2015 09:49 Titel: |
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| joe1 hat Folgendes geschrieben: |
Und bei x->0 geht doch der Funktionswert gegen v0, aber hier soll eine Näherung durch Taylorpolynome weiter helfen. Aber ich verstehe nicht, was das bringen soll. Eine Taylorreihe hat doch unendlich Terme und je mehr Terme, desto mehr nähert sich diese Reihe der Originalfunktion an. Was bringt mir das, aber bei der Grenzwertbestimmung? |
der erste Term des Taylorpolynoms ist ja genau b*t. In den weiteren Termen kommt t mit immer höheren Potenzen im Zähler vor. Diese Terme "höherer Ordnung" sind bei kleinen t daher vernachlässigbar klein.
Gruß
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 30. Okt 2015 12:20 Titel: |
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Ahh, verstehe, danke.
D.h. wenn ich eine Funktion durch Taylorpolynome annähere und dann den Grenzwert bei t gegen null betrachte, dann bekomme ich immer ein anderes Ergebnis, als wenn ich den Grenzwert von v(t) betrachte?
Aber was ist der unterschied? Beim ersten oben genannten Fall bekäme ich irgendeinen term und beim zweiten einen konkreten wert, also Null bzw. V0.
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 30. Okt 2015 12:59 Titel: |
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| joe1 hat Folgendes geschrieben: |
D.h. wenn ich eine Funktion durch Taylorpolynome annähere und dann den Grenzwert bei t gegen null betrachte, dann bekomme ich immer ein anderes Ergebnis, als wenn ich den Grenzwert von v(t) betrachte? |
nein, das sollte eingentlich nicht so sein, wenn Du die Taylorreihe als unendliche Reihe betrachtest.
| joe1 hat Folgendes geschrieben: |
Aber was ist der unterschied? Beim ersten oben genannten Fall bekäme ich irgendeinen term und beim zweiten einen konkreten wert, also Null bzw. V0.
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In der Aufgabenstellung ist ja nicht der Grenzwert für t=>0 gesucht. Dort steht doch: "zeigen Sie: ... für kleine t ist v=bt, wenn der Körper bei t=0 startet."
Das heißt, es ist eine Näherung für kleine t gesucht, nicht der Grenzwert für t => 0 (denn der wäre ja 0).
Und für kleine t kann man (vorausgesetzt bei t=0 ist auch v=0) die lineare Näherung v=b*t machen. Mathematisch kann man das über die Taylorreihe zeigen und argumentieren, dass Terme höherer Ordnung für kleine t vernachlässigbar sind. Physikalisch könnte man argumentieren, dass für kleine t (und damit kleine Geschwindigkeiten v) der Einfluss der Luftreibung noch vernachlässigbar klein ist. Und ohne Luftreibung hätte man ja auch die Beziehung v = b*t (b ist ja in diesem Fall die Erdbeschleunigung g).
Gruß
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joe1
Anmeldungsdatum: 28.10.2015
Beiträge: 90
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| joe1 Verfasst am: 31. Okt 2015 14:59 Titel: |
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Ok, danke.
Ein paar Verständnisfragen noch:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die Bewegungsgleichung folgt üblicherweise aus F = ma, wobei F eine für das Problem spezifische Kraft ist, hier die geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte. |
Wie kommt man von der Reibungskraft auf die Gleichung?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Die vorliegende Kraft ist x-unabhängig, daher kann man die DGL zweiter Ordnung in x in eine erster Ordnung in v umwandeln. |
Was bedeutet es genau, dass die Kraft vom Ort unabhängig ist, also heißt das, dass egal von wo ich runterspringe, ich immer dasselbe Ergebnis bekomme, so in der Art?
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1213
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| hansguckindieluft Verfasst am: 31. Okt 2015 21:05 Titel: |
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Hallo,
| joe1 hat Folgendes geschrieben: | | Wie kommt man von der Reibungskraft auf die Gleichung? |
indem man am fallenden Körper alle angreifenden Kräfte anträgt, und diese = m*a setzt:
durch m teilen:
alle Ableitungen von x auf eine Seite:
Das ist eine DGL der Form, wie in Deiner Aufgabenstellung gegeben:
| joe1 hat Folgendes geschrieben: |
Was bedeutet es genau, dass die Kraft vom Ort unabhängig ist, also heißt das, dass egal von wo ich runterspringe, ich immer dasselbe Ergebnis bekomme, so in der Art? |
Na, die Reibungskraft ist nicht vom Ort, sondern von der Geschwindigkeit abhängig. Die DGL 2. Ordnung von oben kann daher in eine DGL 1. Ordnung umgeschrieben werden, wenn man nicht x, sondern v als Betrachtungsgröße heranzieht:
Gruß
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