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Beschleunigungen bei einer Kreisbahn
 
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gralus



Anmeldungsdatum: 20.10.2015
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Beitrag gralus Verfasst am: 27. Okt 2015 21:48    Titel: Beschleunigungen bei einer Kreisbahn Antworten mit Zitat

Hallo,

folgendes Beispiel:
Ein Zug fährt auf einer kreisförmigen Strecke mit dem Radius gleichmäßig beschleunigt an, d.h. die Beschleunigung in Richtung der TAngenten der Kreisbahn ist konstant. Nach der Zeit hat der Zug die Geschwindigkeit . Wie groß ist die Radial- und Gesamtbeschleunigung nach der Zeit ?
(Anhang: Bild)

1. Mit Radialbeschleunigung meint man die "Normalbeschleunigung", oder? Die zeigt nach Innen vom Zug weg oder?

2. Gesamtbeschleunigung ist Tangentialbeschleunigung + Normalbeschleunigung, richtig? Und die Tangentialbeschleunigung muss ja hier fast sein, richtig?

3.
Wie man auf r^2 kommt ist mir ja noch klar, aber wie kommt man von der Ableitung von r auf diesen anderen Term da?
Und warum leitet man das Skalarprodukt von r mit sich selbst ab?

Ich hoffe ihr könnt mir da erstmal grundsätzlich helfen.

Gruß
gralus



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schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 27. Okt 2015 23:09    Titel: Antworten mit Zitat

Zur Herleitung der Radialbeschleunigung:

Der Radius r ist konstant, also muss auch das Quadrat von r konstant sein:



Ableiten mit Kettenregel:



Nochmals ableiten:



also



oder



Definition des Skalarproduktes:



Daher ist der Anteil der Beschleunigung in Richtung des Radius (=Radialbeschleunigung):


Mit einer ganz ähnlichen Rechnung, die du nun selber können solltest, zeigst du, dass



Tipp: Du kannst hier ausgehen von

,

da ja und aufgrund der obigen zweiten Gleichung aufeinander senkrecht stehen. Thumbs up!

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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)


Zuletzt bearbeitet von schnudl am 28. Okt 2015 15:15, insgesamt einmal bearbeitet
gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 27. Okt 2015 23:34    Titel: Antworten mit Zitat

Okay die erste Latex-Zeile verstehe ich, diese zeigt ja das Vektor v und Vektor r orthogal zueinander sind.

Aber warum gehst du davon aus, dass die 2. Ableitung = 0 ist? Verstehe nich wie du auf das kommst.

Im Endeffekt kommt ja raus, dass Vektor v und Vektor r orthogal zueinander sind und Vektor v und Vektor a orthogal zueinander sind. Wie kann man diese Vektoren nun einzeichnen bzw. wie stellt man sich das vor?
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Okt 2015 07:16    Titel: Antworten mit Zitat

gralus hat Folgendes geschrieben:
Okay die erste Latex-Zeile verstehe ich, diese zeigt ja das Vektor v und Vektor r orthogal zueinander sind.

Aber warum gehst du davon aus, dass die 2. Ableitung = 0 ist? Verstehe nich wie du auf das kommst.

Links steht bei der ersten Gleichung Null. Das abgeleitet ergibt wieder Null. Mehr ist das nicht.

Im Endeffekt kommt ja raus, dass Vektor v und Vektor r orthogonal zueinander sind und Vektor v und Vektor a orthogonal zueinander sind. Wie kann man diese Vektoren nun einzeichnen bzw. wie stellt man sich das vor?
So wies dasteht smile


v und a sind übrigens nicht normal aufeinander...Nur wenn

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 28. Okt 2015 08:23, insgesamt 2-mal bearbeitet
gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 28. Okt 2015 08:02    Titel: Antworten mit Zitat

Achso danke. Du hast einfach Produktregel angewandt.

1. Warum kommt die 2 da nicht vor in der 2.Ableitung? Weils nurnein Faktor ist und somit egal ist?

2. warum kommt da gerade die Radialbeschl. raus? Ich verstehe das noch nicht so recht.

3. ich sehe da nirgends dass das Skalarprodukt vom Vektor v und Vektor a = 0 ist. Kannst du mir das zeigen bitte?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Okt 2015 08:12    Titel: Antworten mit Zitat

gralus hat Folgendes geschrieben:
Achso danke. Du hast einfach Produktregel angewandt.

1. Warum kommt die 2 da nicht vor in der 2.Ableitung? Weils nurnein Faktor ist und somit egal ist?

Weil man in einem Ausdruck wo auf der einen Seite ein Faktor heraushebbar ist (2) und auf der anderen Seite Null steht, den Faktor in der Gleichung weglassen kann.

2. warum kommt da gerade die Radialbeschl. raus? Ich verstehe das noch nicht so recht.

ist die Projektion von a auf den Ortsvektor r, also der Anteil von a, der parallel zu r ist.

3. ich sehe da nirgends dass das Skalarprodukt vom Vektor v und Vektor a = 0 ist. Kannst du mir das zeigen bitte?

Das hast ja DU behauptet - ich habe oben übersehen, dass du da was falsches hingeschrieben hast.

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gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 28. Okt 2015 12:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ich fasse zusammen:
1. Da der Radius konstant ist, ist seine Ableitung Null und somit stehen r und v senkrecht zu einander, jetzt mal vereinfacht gesagt.

2. Wenn man das dann wieder ableitet bekommt man die Radial Beschleunigung, also die Normal Beschleunigung in Richtung Kreismittelpunkt.

Stimmen 1 und 2 erstmal so?

3. Wie zeigt man dann, dass v und a auch senkrecht zueinander stehen?

4. für die gesamtbeschl brauche ich ja nur noch die tangential befahl., denn die radial- bzw. Normalbeschl. Habe ich schon.
Mir ist noch nicht so recht klar, wie ich auf diese komme. Was genau hilft mir Vektor r mal Vektor v = 0? Wir haben ja DSS abgeleitet, um auf die radialbeschl. Zu kommen.
schnudl
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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Okt 2015 15:13    Titel: Antworten mit Zitat

gralus hat Folgendes geschrieben:
Ich fasse zusammen:
1. Da der Radius konstant ist, ist seine Ableitung Null und somit stehen r und v senkrecht zu einander, jetzt mal vereinfacht gesagt.

ja

2. Wenn man das dann wieder ableitet bekommt man die Radial Beschleunigung, also die Normal Beschleunigung in Richtung Kreismittelpunkt.

Stimmen 1 und 2 erstmal so?

ja

3. Wie zeigt man dann, dass v und a auch senkrecht zueinander stehen?

das tun sie ja nicht !


4. für die gesamtbeschl brauche ich ja nur noch die tangential befahl., denn die radial- bzw. Normalbeschl. Habe ich schon.
Mir ist noch nicht so recht klar, wie ich auf diese komme. Was genau hilft mir Vektor r mal Vektor v = 0? Wir haben ja DSS abgeleitet, um auf die radialbeschl. Zu kommen.
Ich hab dir ja schon den Tipp gegeben oben!
Rein intuitiv ist klar, dass die Tangentialbeschleunigung ist. Da kann man mit der von mir skizzierten Methode auch beweisen.


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gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 28. Okt 2015 17:10    Titel: Antworten mit Zitat

Folgendes habe ich:



Meinst du das mit ? Aber hier wird wieder das Skalarprodukt von v ausgerechnet. Wieso? Und warum ist das dann wieder Null? Wer sagt, dass die Geschwindigkeit konstant ist?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Okt 2015 17:46    Titel: Antworten mit Zitat

nein, das hieße ja das sich v nicht ändert, der Zug wird aber schneller!!!
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schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Okt 2015 18:05    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst ausgehen von



ableiten:



oder



bzw.



Thumbs up!

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 29. Okt 2015 11:19, insgesamt einmal bearbeitet
gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 28. Okt 2015 18:56    Titel: Antworten mit Zitat

Hm ok danke, aber folgendes irretiert mich: Wir haben das anders gemacht und nicht mit dem Kreuzprodukt von Vektoren.

Siehe dazu das Bild bitte.

Man hat da einfach mit v/v multipliziert, aber wie man von einer reinen Multiplikation auf eien Addition kommt ist mir nicht klar.

Der erstem Term der Addition soll Tangentailbeschl. sein under zweite Term die Normalbeschleunigung.

Kannst du mir das bitte erklären, vielleicht wird es dann klarer, denn wir haben bisher noch gar nicht das Kreuzprodukt angewandt.



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Duncan
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Beitrag Duncan Verfasst am: 28. Okt 2015 19:15    Titel: Antworten mit Zitat

gralus hat Folgendes geschrieben:
aber wie man von einer reinen Multiplikation auf eien Addition kommt ist mir nicht klar.


Das Produkt


wird nach der Produktregel nach t differenziert.
gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 28. Okt 2015 19:27    Titel: Antworten mit Zitat

Achso, ok danke. Naja aber das hilft mir ja nicht wirklich weiter bei meinem Beispiel oder?
Ich kenne ja keinen \vec v und v. Und ob ich da einfach 36km/h einsetzen darf, bezweifle ich.

Nach t1=100s hat der Zug doch eine Geschwindigkeit von v1=36km/h

Dann ist doch a_t = 10(m/s)/100s = 0,1 m/s^2 oder? Irgendwie glaube ich das nicht, dass man das so einfach rechnen kann.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Okt 2015 09:24    Titel: Antworten mit Zitat

Du weißt aber aufgrund der obigen Zusammenhänge (wir haben jetzt sogar zwei Varianten, um sie zu bekommen) , wie groß der radiale und tangentiale Anteil von a ist. Damit ist auch die Gesamtbeschleunigung bekannt, da man die beiden ja addieren kann. Ich sehe jetzt nicht, wo dein Problem liegt...
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gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 31. Okt 2015 14:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, ich glaube es liegt an einem allgemeinen Verständnisproblem.

Hier ein paar allgemeine Fragen bitte:
1. Man unterscheiden zwischen gleichmäßige und ungleichmäßige Kreisbewegungen, richtig?

2. Bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung wäre der Betrag des "Bahngeschwindigkeits-Vektores" konstant, jedoch seine Richtung nicht. Die Tangential-Beschleunigung muss hier Null sein, da ja die Geschwindigkeit konstant ist, wie oben schon erwähnt. Okay?
2.1 Die Normal- bzw. Radialbeschleunigung ist jene Beschleunigung, die nach innen zum Mittelpunkt des Kreises zeigt, also in die andere Richtung, wie es der Ortsvektor tut. Aber wann ist diese konstant, oder nicht konstant?

3. Bei einer ungleichmäßigen Kreisbewegung wäre der Betrag des "Bahngeschwindigkeits-Vektores" nicht konstant, da eine sog. Tangential-Beschleunigung existiert. D.h hier wird der Betrag der Bahngeschwindigkeit laufend geändert und die Richtung auch.
3.1 Wie sieht es hier mit der Normalbeschleunigung aus?
gralus



Anmeldungsdatum: 20.10.2015
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Beitrag gralus Verfasst am: 31. Okt 2015 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Kann mir wer weiterhelfen bitte?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 31. Okt 2015 22:34    Titel: Antworten mit Zitat

Deine Überlegungen sind richtig.

Der allgemeine Fall ist oben schon beschrieben:

Die Radialbeschleunigung ist dann , die Tangentialbeschleunigung .

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gralus



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Beitrag gralus Verfasst am: 01. Nov 2015 09:21    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke. Wir kommen dem ganzen schon näher smile.

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Zur Herleitung der Radialbeschleunigung:

Der Radius r ist konstant, also muss auch das Quadrat von r konstant sein:



Ableiten mit Kettenregel:



Nochmals ableiten:



also



oder



Definition des Skalarproduktes:



Daher ist der Anteil der Beschleunigung in Richtung des Radius (=Radialbeschleunigung):



Woher weiß ich, wenn ich 2mal den Ortsvektor ableite, dass ich dann die Radialbeschleunigung rausbekomme und nicht die Tangentialbeschleunigung?
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 01. Nov 2015 09:43    Titel: Antworten mit Zitat

gralus hat Folgendes geschrieben:

Woher weiß ich, wenn ich 2mal den Ortsvektor ableite, dass ich dann die Radialbeschleunigung rausbekomme und nicht die Tangentialbeschleunigung?


Tust du ja nicht. ist hier die gesamte Beschleunigung.

Da dann aber



steht, ist das die Projektion von auf , also der radiale Anteil.

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gralus



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Beiträge: 79

Beitrag gralus Verfasst am: 06. Nov 2015 23:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ah ok, danke.

D.h. wegen , steht a senkrecht auf r und dann weiß man, dass das die Radialbeschl. ist?

Aber mich stört das hier. Wenn stehen würde, dann wärs logisch, aber anders nicht.
gralus



Anmeldungsdatum: 20.10.2015
Beiträge: 79

Beitrag gralus Verfasst am: 07. Nov 2015 19:02    Titel: Antworten mit Zitat

Kann mir wer helfen bitte smile?
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5783
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 08. Nov 2015 12:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich bin mir nicht sicher, ob Dir jemand helfen kann... schnudl hatte es ja sehr ausführlich schon versucht, offenbar mit wenig Erfolg.

Wie er schon häufiger gesagt hat: Nein, a steht eben nicht senkrecht auf r! Wie kommst Du denn darauf??? Die Zentripetalbeschleunigung ist doch eben gerade in Richtung (bzw. entgegen) . Und das ist es eben auch gerade, was diese Gleichung aussagt: Der zu parallele Anteil der Gesamtbeschleunigung erfüllt sie.

Lass uns den Beschleunigungsvektor einfach einmal in einen tangentialen Anteil (also senkrecht zu ) und einen radialen Anteil (in Richtung von ) aufteilen. Dann hast Du doch:
.
Kannst Du mir soweit folgen?

Jetzt setzen wir das in die Gleichung ein:

Soweit auch noch bei mir? Ich habe einfach a durch die Summe zweier anderer Werte ausgedrückt und dann die Klammer ausmultipliziert.
Jetzt erst kommt die Sache mit der Eigenschaft des Skalarprodukts, dass es verschwindet, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Ich habe meine Beschleunigungs-Komponenten ja gerade so definiert, dass der eine senkrecht und der andere parallel zu r ist. Für den senkrechten Anteil (also der tangentiale Anteil) ist das Skalarprodukt per Definition:

Allerdings ist eine weitere Eigenschaft des Skalarprodukts auch, dass das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren gerade gleich dem Produkt der Beträge der Vektoren ist (bzw. das Negative, wenn die Vektoren anti-parallel sind). Genau den Fall haben wir für den radialen Anteil, also ist:

Das Minus daher, weil die Beschleunigung r entgegen gesetzt ist, also die Vektoren antiparallel sind.
Das alles kannst Du wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:

Und das ist eben die allgemein bekannte Zentripetalbeschleunigung!

Also nochmal: a ist die Gesamtbeschleunigung. Diese Gesamtbeschleunigung erfüllt die Gleichung . Da beim Skalarprodukt immer nur die zueinander senkrecht stehenden Vektorkomponenten eine Rolle spielen, sagt diese Gleichung nur etwas über den radialen Anteil der Beschleunigung aus. Der tangentiale kann einen beliebigen Wert haben, weil er eben gar keine Rolle im Skalarprodukt spielt. Wenn der Radialanteil so ist, dass die Gleichung erfüllt ist, dann kann der Tangentialanteil 0 sein oder 2m/s² oder sonst irgendeinen anderen beliebigen Wert haben, die Gleichung wird immer noch erfüllt sein. Verstehst Du das so weit?

Gruß
Marco
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