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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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 Hero123 Verfasst am: 02. Okt 2015 11:47 Titel: Raumkrümmung Relativitätstheorie |
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Hallo,
ich arbeite mich gerade in die allgemeine Relativitätstheorie ein und habe ein paar kleinere Verständnisprobleme.
In meinem Lehrbuch (Fließbach) heißt es, dass der Raum genau dann nicht gekrümmt ist, wenn karthesische Koordinaten möglich sind. Ich habe leider keine genauere Beschreibung von "möglich" gefunden, bedeutet dies, dass global ein Diffeomorphismus zu karthesischen Koordinaten (also zum Minkowskiraum) geben muss, der den metrischen Tensor auf den im Minkowskiraum überführt?
Weiter heißt es bei der Lösung für eine statische und spährische Massenverteilung im Außenraum (Schwarzschild-Metrik), dass aufgrund des verschwindenden Ricci-Tensors die vierdimensionale Raumzeit nicht gekrümmt ist, allerdings der unterliegende dreidimensionale Raum sehr wohl gekrümmt ist.
Zum einen verstehe ich nicht, wie man dies erkennt.
Zum anderen wurde weiter vorher gesagt, dass der Raum genau dann nicht gekrümmt ist, wenn der Krümmungstensor verschwindet, nun stellt der Ricci-Tensor aber eine Tensorverjüngung dar, ist ein solcher Schluss damit überhaupt noch möglich?
Vielen Dank für eure Hilfe. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 02. Okt 2015 12:54 Titel: |
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Hallo Hero123,
erstmal zur Definition von Krümmung:
"Das karthesische Koordinaten möglich sind" ist vielleicht wirklich eine etwas schwammige Aussage, ich denke was hier gemeint ist, ist das für die flache Raumzeit lokal(!) immer eine Isometrie auf eine offene Teilmenge des Minkowskiraums gibt. Isometrie heisst wie du schon geschrieben hast, ein Diffeomorphismus der die Mertik auf die flache Minkowski-Metrik überführt.
Nimm als Beispiel mal einen unendlich langen zylinder mit beliebigem Radius r, der Zylinder ist flach nach dieser Definition (auch wenn er vllt nicht so aussieht). Aber eine globale Isometrie zum Minkowskiraum sehe ich nicht und ich vermute auch das es keine geben kann, da beide Räume unterschiedliche Fundamentalgruppen haben.
| Zitat: | | Weiter heißt es bei der Lösung für eine statische und spährische Massenverteilung im Außenraum (Schwarzschild-Metrik), dass aufgrund des verschwindenden Ricci-Tensors die vierdimensionale Raumzeit nicht gekrümmt ist, allerdings der unterliegende dreidimensionale Raum sehr wohl gekrümmt ist. |
Sicher das das genau so dort steht? Mir kommt das erstmal inkosistent mit der zuvor angesprochenen Definition von "flach" vor.
Gruß
Nobundo |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 02. Okt 2015 15:14 Titel: |
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Hallo Nobundo,
vielen Dank für deine Antwort.
| Zitat: |
ist das für die flache Raumzeit lokal(!) immer eine Isometrie auf eine offene Teilmenge des Minkowskiraums gibt. Isometrie heisst wie du schon geschrieben hast, ein Diffeomorphismus der die Mertik auf die flache Minkowski-Metrik überführt.
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Aber wäre dies nicht bei jeder Mannigfaltigkeit der Fall, dass ich sie lokal abbilden kann? Bzw. ist das nicht auch die Forderung des Kovarianzprinzipes, dass ich meinen Riemannschen Raum, lokal als Minkowskiraum betrachten kann? Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler?
Ich schreibe mal den gesamten Satz an:
"In der Scharzschildmetrik gilt R_mü_nü=0 und R=0, da diese Lösung sich auf den quellfreien Raum bezieht. Der dreidimensionale Unterraum der Schwarzschildmetrik (mit Koordinaten r, teta und phi) ist jedoch gekrümmt. In der Umgebung einer gravitierenden Masse ist die Raumkrümmung daher null bezogen auf den vierdimensionalen Raum, aber ungleich null bezogen auf den dreidimensionalen Unterraum (ohne die zeitliche Dimension)." (Aus Torsten Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Verlag, 6.Auflage, Seite 139)
Vielen Dank |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 02. Okt 2015 15:50 Titel: |
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| Zitat: | | Aber wäre dies nicht bei jeder Mannigfaltigkeit der Fall, dass ich sie lokal abbilden kann? Bzw. ist das nicht auch die Forderung des Kovarianzprinzipes, dass ich meinen Riemannschen Raum, lokal als Minkowskiraum betrachten kann? Oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler? |
Das jede Raumzeit lokal Diffeomorph zu einer offenen teilmengen des Minkowskiraum ist stimmt, das war mehr oder weniger die Definition einer Mannigfaltigkeit. Aber nicht jede Mannigfaltigkeit ist ismoetrisch zu einer solchen Teilmenge, auch nicht lokal.
Man kann beweisen das aber um jeden Raumzeitpunkt Koordinaten existieren, sog. riemannsche Normalkoordinaten, bezüglich denen die Metrik bei einer Entwicklung um den Raumzeitpunkt, bis erste Ordnung mit der flachen minkowskimetrik übereinstimmt.
Das schreibt man dann irgendwie so:
)
| Zitat: | | "In der Scharzschildmetrik gilt R_mü_nü=0 und R=0, da diese Lösung sich auf den quellfreien Raum bezieht. Der dreidimensionale Unterraum der Schwarzschildmetrik (mit Koordinaten r, teta und phi) ist jedoch gekrümmt. In der Umgebung einer gravitierenden Masse ist die Raumkrümmung daher null bezogen auf den vierdimensionalen Raum, aber ungleich null bezogen auf den dreidimensionalen Unterraum (ohne die zeitliche Dimension)." |
Ich verstehe das so, das wohl der Riemann-Tensor auf den gesamten Raum bezogen verschwindet und wenn man nur den räumlichen Anteil (t=t0 const) betrachtet man eine Mannigfaltigkeit mit nicht verschwindendem Riemanntensor erhält.
Ich guck mir die Schwarzschildlösungen vielleicht nochmal an und sag dir bescheid falls mir da irgendwie was zu einfällt, spontan kann ich leider nix genaueres dazu sagen :/ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 02. Okt 2015 18:56 Titel: Re: Raumkrümmung Relativitätstheorie |
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| Hero123 hat Folgendes geschrieben: | | In meinem Lehrbuch (Fließbach) heißt es, dass der Raum genau dann nicht gekrümmt ist, wenn karthesische Koordinaten möglich sind. |
Schade, dass er sowas schreibt (ich hatte mal mein Büro auf dem selben Gang :-)
Die Raumzeit ist genau dann nicht gekrümmt, wenn der Riemannsche Krümmungstensor global Null ist. Und wenn das der Fall ist, dann liegt global eine Minkowski-Raumzeit vor (für einen 3-dim. Raum analog). Wenn der Krümmungstensor in einem Koordinatensystem verschwindet, dann verschwindet er in allen.
Hier mit Koordinazen zu argumentieren ist nicht angebracht.
| Hero123 hat Folgendes geschrieben: | | Weiter heißt es bei der Lösung für eine statische und spährische Massenverteilung im Außenraum (Schwarzschild-Metrik), dass aufgrund des verschwindenden Ricci-Tensors die vierdimensionale Raumzeit nicht gekrümmt ist, allerdings der unterliegende dreidimensionale Raum sehr wohl gekrümmt ist. |
Es wird immer seltsamer.
Im Außenraum der Schwarzschild-Lösung (nicht Metrik, ganz allgemein Lösung!) ist die Ricci-Krümmung der Raumzeit Null (= Vakuum), die Weyl-Krümmung dagegen nicht Null, und daher auch der Riemannsche Krümungstensor nicht Null! |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 02. Okt 2015 22:41 Titel: |
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| Zitat: | | Die Raumzeit ist genau dann nicht gekrümmt, wenn der Riemannsche Krümmungstensor global Null ist. Und wenn das der Fall ist, dann liegt global eine Minkowski-Raumzeit vor (für einen 3-dim. Raum analog). |
Ist das wirklich so definiert? Wie ich weiter oben schon geschrieben habe ist doch ein zylinder auch flach, aber nicht global Isometrisch zum Minkowskiraum bzw zu R^2? |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 02. Okt 2015 23:29 Titel: |
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Hallo,
bevor hier wegen schlechten Formulierungen, aus den Kontext gerissenen Aussagen oder meinem Halbwissen, Herr Fließbach in Verruf kommt, zitiere ich die Stellen lieber mal aus dem Buch.
In einen der ersten Kapitel schreibt er das mit den Koordinaten, ich vermute dies dient eher zur Einführung bzw. Anschauung. Er beschreibt kurz den Unterschied zwischen innerer und äußerer Krümmung und schreibt dann:
| Zitat: | "Ein Raum ist genau dann nichtgekrümmt (oder eben oder euklidisch), wenn kartesische Koordinaten möglich sind:
Kartesische Koordinaten möglich <=> Raum nicht gekrümmt
Zur Begründung: Wenn man von kartesischen Koordinaten ausgeht, dann führt die oben gegebene Konstruktion zu lauter gleichen Quadraten, die in einer Ebene aneinander gefügt werden können. Wenn man umgekehrt von einer Ebene ausgeht, dann kan man gleichabständige Geraden nehmen und sie mit x=0, x=+/-1, x=+/-2 und so weiter bezeichnen. Anschließend kann man dazu senkrechte Geraden mit y=0 bezeichnen und die hierzu parallelen Geraden mit y=+/-1, y=+/-2 und so weiter. Hierdurch hat man dann kartesische Koordinaten eingeführt." (Aus Torsten Fießbach, Allgemeine Relativitätstheorie, 6.Auflage, Springer Verlag, Seite 70f.) |
Sobald er den Krümmungstensor eingeführt hat, schreibt er:
| Zitat: | "Die Behauptung der Einleitung, dass für die Kugeloberfläche keine karteische Koordinaten existieren, fassen wir nun etwas allgemeiner:
 <---> kein kartesisches KS
Dies bedeutet: Ein nichtverschwindender Krümmungstensor ist äquivalent zur Nichtexistenz eines kartesischen KS. Zur Schlussrichtung --> zeigt man, dass die Existenz eines kartesischen KS im Widerspruch zur Voraussetzung steht: In einem kartesischen KS wäre  . Da  ein Tensor ist, gilt dies aber dann für beliebige Koordinaten. Zur Schlussrichtung <-- zeigt man, dass für krtesische Koordinaten möglich sind: ..." (Aus Torsten Fießbach, Allgemeine Relativitätstheorie, 6.Auflage, Springer Verlag, Seite 99f.) |
Im Kapitel 24 "Schwarzschildmetrik" diskutiert er die Lösung der freien Feldgleichung. Er geht von einer sphärischen, statischen und begrenzten Massenverteilung aus. Der Druck innerhalb soll ebenfalls von dieser Form sein. Da er von die quellfreie Feldgleichung betrachtet setzt er den Ricci-Tensor zu 0. Die Lösung berechnet er dann aus der zuvor eingeführten Standardform. Im weiteren führt er eine kurze Diskussion der Schwarzschildmetrik durch. Anschließend schreibt er folgendes:
| Zitat: | "
Krümmung des Raums
Nach den Feldgleichungen sind die  nur im Bereich der Quellen ungleich null ("Krümmung ist proportional zur Massendichte").
In der Scharzschildmetrik gilt  und R=0, da diese Lösung sich auf den quellfreien Raum bezieht. Der dreidimensionale Unterraum der Schwarzschildmetrik (mit Koordinaten r, teta und phi) ist jedoch gekrümmt. In der Umgebung einer gravitierenden Masse ist die Raumkrümmung daher null bezogen auf den vierdimensionalen Raum, aber ungleich null bezogen auf den dreidimensionalen Unterraum (ohne die zeitliche Dimension)." (Aus Torsten Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Verlag, 6.Auflage, Seite 139)
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Das sollten die wesentlichen Stellen gewesen seien, hoffe ich zumindest.
Das wirft jetzt allerdings dennoch Fragen auf, deren Antwort ich noch nicht wirklich kenne.
Zum einen ist mir nicht klar, warum aus Aussagen über die Krümmung getroffen werden können, denn wie du schon sagtest benötigt man dafür doch eig. den vollständigen Krümmungstensor und keine Tensorverjüngung davon.
Des Weiteren, wieso ist der vierdimensionale Raum nun nicht gekrümmt der Unterraum aber schon?
Zur Schwarzschildlösung selbst: Hängt diese eig. von der Massenverteilung selbst ab (also bei der äußeren Schwarzschildlösung)?
Ich hoffe ich konnte nun etwaige Fehler bei meiner vorherigen Formulierung ausbessern und vielen Dank für eure Hilfe. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2015 03:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Hier mit Koordinazen zu argumentieren ist nicht angebracht. |
Ich halte die Aussage von Fließbach für richtig. Ich denke nämlich, daß mit kartesischen Koordinaten gemeint ist, daß  = g_{\mu \nu } = \eta_{\mu \nu}) gilt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2015 09:07 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Hier mit Koordinazen zu argumentieren ist nicht angebracht. |
Ich halte die Aussage von Fließbach für richtig. Ich denke nämlich, daß mit kartesischen Koordinaten gemeint ist, daß gilt. |
Das denke ich auch.
Ich halte es auch nicht für falsch, sondern für nicht angebracht - insbs. wenn ein Erklärung wir deine fehlt :-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2015 09:13 Titel: |
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@Hero123: zur Diskussion der Schwarzschildlösung wird mir nun einiges klar; hier wird er Ricci-Tensor diskutiert, nicht der Riemannsche Krümmungstensor.
Der Ricci-Tensor ist im Vakuum tatsächlich Null, der Riemannsche Krümmungstensor jedoch nicht Null. Die Lösung ist also Ricci-flach, jedoch nicht flach. Insbs. verschwindet die sogenannte Weyl-Krümmung nicht. Man erkennt das auch an bestimmten skalares Größen; der Krümmungsskakar R, der durch Kontraktion aus dem Ricci-Tensor gewonnen wird, ist Null, der Kretschmann-Skalar, der nicht aus dem Ricci-Tensor folgt, ist nicht Null.
Zu deiner letzten Frage: Eine Vakuumlösung außerhalb einer sphärisch symmetrischen, ansonsten jedoch beliebigen Massenverteilung ist eindeutig festgelegt und entspricht immer der Schwarzschild-Geometrie (Birkhoff-Theorem)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 20. Nov 2015 21:19, insgesamt einmal bearbeitet |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 03. Okt 2015 15:14 Titel: |
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Vielen Dank für eure Antworten.
Ich versuche nochmal zu wiederholen, soweit ich es verstanden habe.
Die Existenz von kartesische Koordinaten bedeutet also, dass der metrische Tensor dem des Minkowskiraums entspricht, aber muss dies nun lokal oder global gelten?
Also ist die vierdimensionale Raumzeit in diesem Fall nicht flach? Bzw. nur flach bzgl. den Ricci-Tensor? Aber warum gilt dies dann nicht auch für den Unterraum, wo in der Lösung kann ich das ablesen?
Ich nehme an, dass ich mir diese verschiedenen Varianten von flach nicht mehr wirklich vorstellen kann?
Die Masse steckt dann in der Lösung nur im Schwarzschildradius, ansonsten hat sie sozusagen keinen Einfluss?
| Zitat: | | Zitat: | Zitat:
Die Raumzeit ist genau dann nicht gekrümmt, wenn der Riemannsche Krümmungstensor global Null ist. Und wenn das der Fall ist, dann liegt global eine Minkowski-Raumzeit vor (für einen 3-dim. Raum analog). |
Ist das wirklich so definiert? Wie ich weiter oben schon geschrieben habe ist doch ein zylinder auch flach, aber nicht global Isometrisch zum Minkowskiraum bzw zu R^2? |
Inwiefern würde dies jetzt nicht zusammenpassen, ich glaube ich stehe noch etwas auf dem Schlauch, was die Mathematik betrifft.
Liebe Grüße
Hero |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2015 20:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das denke ich auch.
Ich halte es auch nicht für falsch, sondern für nicht angebracht - insbs. wenn ein Erklärung wir deine fehlt :-) |
Okay, volle Zustimmung.  Ich habe zugegebenermaßen auch noch nicht den Begriff "kartesische Koordinaten" in diesem Zusammenhang gehört. 
Es ist schon kein gutes Zeichen, wenn man sich die Definition der Begriffe ("kartesisch") anhand der Aussage erarbeiten muß.  Aber ich kenne auch nur einen Bruchteil der Literatur zur ART (nämlich die eher mathematischen Werke, also Wald, Choquet-Bruhat und Straumann, und den Landau/Lifschitz und Dirac; den nicht ganz unbedeutenden MTW aber gerade nicht) und so dachte ich, daß es vielleicht sogar ein üblicher Begriff ist.
| Hero123 hat Folgendes geschrieben: |
Die Existenz von kartesische Koordinaten bedeutet also, dass der metrische Tensor dem des Minkowskiraums entspricht, aber muss dies nun lokal oder global gelten? |
Was genau meinst Du mit "lokal"? Der Sprachgebrauch ist in der Physik und der Mathematik leicht unterschiedlich. Falls Du mit "lokal" meinst, daß die Aussage nur in einem einzigen Punkt gilt, dann ist das auf jeden Fall zu schwach. In einem einzelnen Punkt kann man die Metrik immer auf Minkowski-Form bringen, auch in gekrümmten Räumen (das besagt der Sylvestersche Trägheitssatz). |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 03. Okt 2015 22:02 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Was genau meinst Du mit "lokal"? Der Sprachgebrauch ist in der Physik und der Mathematik leicht unterschiedlich. Falls Du mit "lokal" meinst, daß die Aussage nur in einem einzigen Punkt gilt, dann ist das auf jeden Fall zu schwach. In einem einzelnen Punkt kann man die Metrik immer auf Minkowski-Form bringen, auch in gekrümmten Räumen (das besagt der Sylvestersche Trägheitssatz). |
Ich meinte lokal im Sinne der Mannigfaltigkeiten, also in einer offenen Umgebung der Punkte (praktisch wie bei den Karten).
Die Frage ist halt, ob dies ausreicht oder ob es global sein muss. Das ist für Mannigfaltigkeiten ja auch relevant, ob eine Karte ausreicht oder ob man mehrere angeben muss, um einen vollständigen Atlas zu erhalten.
Reicht hier der Trägheitssatz von Sylvester aus? Er bringt zwar den Tensor auf eine Form mit Einträgen 0,1,-1, aber ergibt sich natürlich sofort die richtige Form bzw. Anzahl von 1 und -1?
Also ist die Zerlegung in die Unterräume für +1 und -1 invariant von der Mannigfaltigkeit, auf welcher ich mich befinde? |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2015 22:18 Titel: |
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| Hero123 hat Folgendes geschrieben: | Ich meinte lokal im Sinne der Mannigfaltigkeiten, also in einer offenen Umgebung der Punkte (praktisch wie bei den Karten).
Die Frage ist halt, ob dies ausreicht oder ob es global sein muss. Das ist für Mannigfaltigkeiten ja auch relevant, ob eine Karte ausreicht oder ob man mehrere angeben muss, um einen vollständigen Atlas zu erhalten. |
Lokal genügt: Es reicht, wenn Du um jeden Punkt eine Karte finden kannst, in der die Metrik Minkowski-Form hat. Daraus folgt ja schon, daß der Riemann-Tensor überall verschwindet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2015 22:37 Titel: |
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Man kann sich das wirklich schlecht vorstellen.
In zwei Dimensionen, also z.B. auch für eine in den R^3 eingebettete Fläche, gilt
)
Dabei ist K die Gaußsche Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor hat also nur eine einzige unabhängige Komponente. D.h. eine Unterscheidung wie für Ricci- und Weyl-Krümmung in vier Dimensionen ist hier nicht möglich.
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 04. Okt 2015 00:00 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: |
Lokal genügt: Es reicht, wenn Du um jeden Punkt eine Karte finden kannst, in der die Metrik Minkowski-Form hat. Daraus folgt ja schon, daß der Riemann-Tensor überall verschwindet. |
Ich denke auch das das eine sinnvolle Definition für "flach" oder "kartesische Koordinaten" oder wie man es nennen will ist. Solange das nämlich in Karten möglich ist ist der Krümmungstensor, wie Jayk ja gesagt hat, automatisch Null und eine globale Isometrie zum Minkowskiraum kommt dann auch nicht mehr vor. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 04. Okt 2015 00:06 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Lokal genügt: Es reicht, wenn Du um jeden Punkt eine Karte finden kannst, in der die Metrik Minkowski-Form hat. |
Das ist noch etwas missverständlich. Es muss eine Karte für alle Punkte in der Umgebung U sein, nicht je eine Karte für jeden Punkt. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 04. Okt 2015 00:41 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Lokal genügt: Es reicht, wenn Du um jeden Punkt eine Karte finden kannst, in der die Metrik Minkowski-Form hat. |
Das ist noch etwas missverständlich. Es muss eine Karte für alle Punkte in der Umgebung U sein, nicht je eine Karte für jeden Punkt. |
Ich sehe daran nichts missverständliches, um jeden Punkt gibt es eine Karte sodass die Metrik Minkowskiform hat, das ist doch eine klare Aussage. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 04. Okt 2015 03:03 Titel: |
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Okay, ich sehe ein, daß die Aussage mißverstanden werden könnte. Obwohl ich schon der Meinung bin, daß sie eigentlich eindeutig ist (eine Karte ist ja definitionsgemäß über einer offenen Menge definiert). Aber ja, als Erklärung war das wohl nicht ganz optimal: Wäre es besser, zu sagen, man muß um jeden Punkt ein Kartengebiet finden, auf welchem die Metrik Minkowski-Form hat?
Ich weiß auch gar nicht, welche Bezeichnungsweise in der Physik üblich ist. Ich weiß nur, daß ich mal einen Prof hatte, der unter "lokal" jedenfalls etwas anderes verstand als ich (nämlich – falls ich ihn richtig interpretiert habe – das, was ein Differentialgeometer "infinitesimal" nennen würde, also daß die Aussage in einem Punkt exakt und in einer Umgebung näherungsweise richtig ist). Seitdem bin ich etwas vorsichtiger damit, dieses Wort zu benutzen, wenn ich eine bestimmte Bedeutung voraussetze. Und der Unterschied dieser beiden möglichen Bedeutungen wird zugegebenermaßen nicht so richtig deutlich, wenn ich nur "zu jedem Punkt" sage. Ich meinte jedenfalls, daß man jedem Punkt eine Karte zuordnen muß, auf deren ganzem Kartengebiet die Minkowskiform angenommen wird. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 04. Okt 2015 09:26 Titel: |
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Es handelt sich tatsächlich um einen schludrigen Sprachgebrauch der Physiker - ich nehme mich da nicht aus!
| Wikipedia hat Folgendes geschrieben: | | Ein Beobachter kann mit lokalen Mitteln nicht zwischen wirkender Gravitation und einer Beschleunigung des Raums, in dem er sich befindet, unterscheiden. |
| Fließbach hat Folgendes geschrieben: | | Im lokalen Inertialsystem gelten die Gesetze der SRT. |
| Straumann hat Folgendes geschrieben: | | Die Gravitation kann lokal wegtransformiert werden. Dies bedeutet aber nichts anderes, als dass für frei fallende Bezugssysteme lokal die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) gelten. |
| Spektrum hat Folgendes geschrieben: | | Eine gleichwertige Formulierung besagt, daß die Gesetze der Physik in jedem frei fallenden, nicht rotierenden Bezugssystem lokal mit denen der Speziellen Relativitätstheorie übereinstimmen. |
Ersetzt man jeweils "lokal" durch "in einem Punkt", dann sind die Aussagen mathematisch präzise.
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 04. Okt 2015 23:18 Titel: |
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"lokal" heißt: in einer infinitesimalen Umgebung. Wenn in einem endlichen Abstand etwas anderes herauskommt als in der Extrapolation aus der infinitesimalen Umgebung, dann ist das nichtlokal. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 05. Okt 2015 00:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es handelt sich tatsächlich um einen schludrigen Sprachgebrauch der Physiker - ich nehme mich da nicht aus! |
Das war auch nicht als Anklage gemeint. Aber in diesem Fall ist es ja tatsächlich sehr bedeutsam, was man mit lokal meint, und deshalb habe ich lieber nochmal nachgefragt.
Gerade in Bezug auf die von Dir gebrachten Zitate hat mich dieser Sprachgebrauch allerdings mehrmals verwirrt. Ich bin aber schon ein bißchen überrascht von diesem Straumann-Zitat. Mein Eindruck ist allerdings nach wie vor, daß Straumann nach maximaler Präzision strebt, wo diese bedeutungsvoll ist (wie eben hier, z.B.).
@Ich: Problematisch ist bei Deiner Definition von 'nichtlokal' allerdings, daß so eine 'Extrapolation' nicht eindeutig sein, sondern wesentlich von der verwendeten Karte abhängen wird. Zwei verschiedene Karten  können ja trotzdem  = \psi (p)) und } (p) = \partial_\mu^{(\psi )} (p) ) an einem Punkt p erfüllen, also  ) = \mathcal O (\| \xi - \psi (p) \|^2)) für ) , d.h. in zweiter Ordnung voneinander abweichen.
Mit der Definition von "lokal" bin ich einverstanden, diese entspricht auch meiner oben geäußerten Vermutung, denke ich (eben mit anderen Worten). |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 05. Okt 2015 00:42 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: | | "lokal" heißt: in einer infinitesimalen Umgebung. Wenn in einem endlichen Abstand etwas anderes herauskommt als in der Extrapolation aus der infinitesimalen Umgebung, dann ist das nichtlokal. |
Was ist denn eine infinitesimale Umgebung? |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 05. Okt 2015 11:57 Titel: |
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Hallo Jayk,
eigentlich war meine Aussage gar nicht auf eine spezielle Karte bezogen, sondern auf kovariante Prozeduren. Zur Ermittlung der Krümmung transportierst du z.B. einen Vektor entlang einer geschlossenen Kurve, und aus dem Ergebnis kannst du die Krümmung berechnen. Sobald das Ergebnis nicht mehr eindeutig ist, ist die Prozedur sowieso schon nichtlokal.
| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | Was ist denn eine infinitesimale Umgebung? |
Mathematisch der Limes zu verschwindend kleinen Strecken, so dass man mit Differentialoperatoren arbeiten kann.
Physikalisch: frei fallender Aufbau, klein genug und die Messzeit kurz genug, dass auch bei einer Änderung von Größe und Messzeit im Rahmen der Messgenauigkeit dasselbe Ergebnis rauskommt. |
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Nobundo
Anmeldungsdatum: 12.03.2014
Beiträge: 168
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| Nobundo Verfasst am: 05. Okt 2015 12:00 Titel: |
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| Ich hat Folgendes geschrieben: |
| Nobundo hat Folgendes geschrieben: | | Was ist denn eine infinitesimale Umgebung? |
Mathematisch der Limes zu verschwindend kleinen Strecken, so dass man mit Differentialoperatoren arbeiten kann.
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Davon hab ich noch nie etwas gehört, kannst du mir vielleicht eine Definiton verlinken? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 05. Okt 2015 12:21 Titel: |
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siehe hier: erste Gleichung sowie die Skizze neben Geometrical meaning
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 20. Nov 2015 18:43 Titel: |
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Ich möchte das Thema nochmal kurz aufgreifen. In einem lokalen Intertialsystem gelten die Gesetze der SRT und es gilt mit \xi^{\alpha} die Koordinaten des lokalen Inertialsystems: 
Gehen wir zu einem anderen Koordinatensystem über, so erhalten wir  d x^{\nu}) für = \eta_{\alpha \beta} \frac{\partial \xi^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial \xi^{\beta}}{\partial x^{\nu}}) .
Diese Transformationen sollen nun nur lokal existieren, aber warum ist dies so? Der metrische Tensor ) ist doch auf der gesamten Mannigfaltigkeit definiert? Und wenn diese Transformation in einer kleinen Umgebung exist. und die Metrik stets die selbe Form hat, dann müsste es diese Transformation doch auch auf der gesamten (oder zumindest fast der gesamten Mannigfaltigkeit) geben oder nicht? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 20. Nov 2015 21:35 Titel: |
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Der metrische Tensor ist auf der gesamten Mannigfaltigkeit definiert (mit Ausnahme von Singularitäten); das beutet jedoch nicht, dass dabei nur eine Karte verwendet werden kann.
Bsp. Kreis: der Abstand von zwei Punkten P, Q auf dem Kreis mit Koordinate phi ist definiert als
 = a(|\phi_P - \phi_Q| \;\text{mod}\; 2\pi))
Allerdings ist eine Karte mit Koordinate phi nicht ausreichend, um den Kreis zu überdecken; man benötigt mindestens zwei.
Nehmen wir an, es gäbe eine Karte mit
Dann wäre der Punkt
offensichtlich zweimal auf der Karte repräsentiert, und das ist verboten. Daher benötigen wir eine Karte
Diese überdeckt jedoch nicht den gesamten Kreis, und wir benötigen eine zweite Karte auf
die den Punkt enthält, der in der ersten Karte nicht enthalten ist.
D.h. dass Koordinatentransformationen zunächst mal immer nur auf einer Karte definiert sind, und daher nicht global, wenn weitere Karten existieren.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 20. Nov 2015 22:14 Titel: |
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Gut, das sehe ich natürlich ein, dass ein Atlas in der Regel aus mehr als einer Karte besteht. Aber so wie ich das verstanden habe existiert diese Transformation in ein lokales Inertialsystem immer nur ein einer sehr kleinen Umgebung um einen bestimmten Punkt x.
Eine Karte (wie im Falle des Kreises oder der Sphäre) überdeckt allerdings unter Umständen einen beträchtlichen Teil der Mannigfaltigkeit? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 20. Nov 2015 23:21 Titel: |
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| Hero123 hat Folgendes geschrieben: | | Aber so wie ich das verstanden habe existiert diese Transformation in ein lokales Inertialsystem immer nur ein einer sehr kleinen Umgebung um einen bestimmten Punkt x. |
Nein. Du kannst die Metrik in jedem Punkt in die Minkowski-Metrik transformieren. In einer Umgebung funktioniert das in der Regel jedoch nicht. |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 21. Nov 2015 01:11 Titel: |
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Aber wie genau fügt sich hier das "Satellitenlabor" ein? Dies ist ja auch nicht nur ein Punkt der Mannigfaltigkeit. Es wird lediglich immer darauf verwiesen, dass es hinreichend klein ist? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2015 21:15 Titel: |
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| Hero123 hat Folgendes geschrieben: | | Aber wie genau fügt sich hier das "Satellitenlabor" ein? Dies ist ja auch nicht nur ein Punkt der Mannigfaltigkeit. Es wird lediglich immer darauf verwiesen, dass es hinreichend klein ist? |
Das meinte ich oben mit dem schludrigen Sprachgebrauch. Wenn die Physiker sagen, man könne das Gravitationsfeld lokal wegtransformieren, dann ist die mathematisch präzise Aussage, dass man das Gravitationsfeld in einem Punkt wegtransformieren kann, nicht jedoch in einer Umgebung des Punktes.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 22. Nov 2015 09:04, insgesamt einmal bearbeitet |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 21. Nov 2015 23:05 Titel: |
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Übrigens: Ich bin kürzlich über eine sehr schöne und klare Darstellung dieses Sachverhalts gestoßen (Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, S. 21f). Man kann immer die Metrik in einem Punkt auf Lorentzform bringen (das ist reine lineare Algebra) und sogar die ersten Ableitungen und damit die Christoffel-Symbole [also das Gravitationsfeld] zum Verschwinden bringen (das ist bei Riemannschen Normalkoordinaten der Fall; ein sehr eleganter und kurzer Beweis wird bei Jost gegeben), es scheitert jedoch bei den zweiten Ableitungen.
Zuletzt bearbeitet von Jayk am 21. Nov 2015 23:07, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2015 23:07 Titel: |
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äh.... ist das nicht trivial...? |
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Hero123
Anmeldungsdatum: 29.03.2015
Beiträge: 42
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| Hero123 Verfasst am: 23. Nov 2015 12:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das meinte ich oben mit dem schludrigen Sprachgebrauch. Wenn die Physiker sagen, man könne das Gravitationsfeld lokal wegtransformieren, dann ist die mathematisch präzise Aussage, dass man das Gravitationsfeld in einem Punkt wegtransformieren kann, nicht jedoch in einer Umgebung des Punktes. |
Folgt dies dann aus dem Trägheitssatz von Sylvester?
Aber wie ist dann das typische Satellitenlabor, welches in den Büchern erwähnt wird, zu deuten? Dies besitzt eine endliche Ausdehnung.
Wird dann dort angenommen, dass g(x') = g(x) für eine offene ("kleine") Umgebung U von x mit x' in U? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18088
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| TomS Verfasst am: 23. Nov 2015 13:42 Titel: |
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Nochmal: die Aussage bzgl. des Satellitenlabors ist so zu deuten, dass Physiker unpräzise von "lokal" sprechen (und du damit irrigerweise "Umgebung" verstehst), obwohl mathematisch präzise von "einem Punkt" zu reden wäre.
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