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Flaneur
Anmeldungsdatum: 13.06.2015
Beiträge: 5
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 Flaneur Verfasst am: 13. Jun 2015 11:09 Titel: Teilchen im Delta-Potential |
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Meine Frage:
Hallo,
Ich beschäftige ich gerade mit Quantenphysik und bin habe einige Verständnisschwierigkeiten beim speziellen Fall des Delta Potentials.
Und zwar habe ich bereits den unendlich hohen Potentialtopf bearbeitet.Dabei war dei RB dass die Wellenfunktion am Rand des Potentials = 0 ist.
Wenn ich jetzt ein Beispiel mit dem Delta-Potential berechne dann verstehe ich folgendes nicht:Die Lösung der Schrödingergleichung im Punkt x = 0 wenn  = \alpha * \delta(x) ) hat einen Wert ich habe jetzt gerade nicht die exakte Lösung parat aber diese ist in diesem Potential nicht 0.Der Grund dafür ist lt. Skript dass die Wellenfunktion überall stetig sein soll.Meine Frage: Warum ist beim unendlich hohen Potentialtopf die Wellenfunktion an Rand immer 0, und beim  -Potential hat sie obwohl an diesem Punkt das Potential offensichtlich unendlich hoch ist einen eine Lösung ungleich 0. Irgendwie widerspricht sich das.
Meine Ideen:
Mir ist dass mathematische Argument der Stetigkeit und der Anschlussbedingung _- = \psi(0)_+ => c_1 = c_2 ) klar aber physikalisch habe ich keine Erklärung dafür.Sie müsste doch eigentlich wenn das Potential unendlich ist = 0 sein.
Vielen Dank im Voraus für Hilfe! |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 13. Jun 2015 13:11 Titel: |
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Hallo,
beim unendlichen hohen Potentialtopf sind die Lösungen der Schrödingergleichung im Grunde stehende Wellen. Die Quantenphysik versucht ein Modell zu entwerfen, welches den Welle-Teilchen Dualismus von Materie berücksichtigen soll.
Die von dir beschriebene Delta-Potentialbarriere stellt nun ein anderes quantenmechanisches Problem dar. Hier liegt im Punkt x = 0 ein Delta-Peak der Höhe  vor. Ein von links einlaufendes Teilchen versucht nun, diese Potentialbarriere oder Potentialstufe zu überwinden, je nach dem, mit welcher Energie  das Teilchen mit der Wellenfunktion Psi auf die endliche Potentialbarriere zuläuft.
Dieses physikalische Modell beschreibt den quantenmechanischen Tunneleffekt, bei dem auch mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit sogenannte evaneszente Wellen entstehen können, naiv ausgedrückt, Wellen, die durch die Potentialbarriere mit einer Minderung ihrer Amplitude "hindurchtreten" können.
Nicht nur die Wellenfunktion muss die Stetigkeitsbedingung erfüllen, auch die Ableitung der Wellenfunktion muss stetig sein, um eine konsistente Lösung für die Schrödinger-Gleichung zu erhalten.
Der Grund für die abgeänderte Stetigkeitsbedingung ist also, dass zwei verschiedene quantenmechanische Probleme vorliegen. Im ersten liegt ein unendlich hoher Potentialtopf vor, sprich die Welle kann diese Potentialbarriere überhaupt nicht überwinden (mit endlicher Enrgie des Teilchens). Im zweiten Problem liegt eine endlich hohe Potentialstufe vor, die unter anderem von dem Teilchen überwunden werden kann.
Viele Grüße
Widderchen[/b] |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 13. Jun 2015 14:42 Titel: Re: Teilchen im Delta-Potential |
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| Flaneur hat Folgendes geschrieben: | Warum ist beim unendlich hohen Potentialtopf die Wellenfunktion an Rand immer 0, und beim -Potential hat sie obwohl an diesem Punkt das Potential offensichtlich unendlich hoch ist einen eine Lösung ungleich 0. Irgendwie widerspricht sich das.
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Weil das delta-Potential lax gesprochen nicht nur "unendlich hoch" ist, sondern auch "unendlich schmal". Daher muss die Wellenfunktion hier nicht verschwinden. Am einfachsten ist es Du stellst Dir eine Potentialbarriere endlicher Dicke vor, die immer höher, aber auch immer schmaler wird (das kannst Du sogar exakt lösen und gucken, ob im Limes das richtige rauskommt).
@Widderchen:
Du denkst an eine Potentialbarriere, nicht an das delta-Potential. Davon abgesehen muss die erste Ableitung nicht immer stetig sein (insbesondere in diesem Fall des Delta-Potentials ist sie es nicht). |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 13. Jun 2015 14:54 Titel: |
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Hallo,
oh, Verzeihung, ich habe Delta-Funktion mit Heaviside-Funktion vertauscht. 
Viele Grüße
Widderchen |
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Flaneur
Anmeldungsdatum: 13.06.2015
Beiträge: 5
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| Flaneur Verfasst am: 14. Jun 2015 12:23 Titel: |
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Hallo,
danke euch beiden für die hilfreichen Antworten ich werde mal probieren die ein einen endlich tiefen Potentialtopf zu lösen und dann den Grenzwert bilden wie jh8979 es vorgeschlagen hat.Ich melde mich wenn ich was vernünftiges habe.
Danke nochmals! |
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DivGradPot
Anmeldungsdatum: 07.07.2019
Beiträge: 45
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| DivGradPot Verfasst am: 16. Aug 2019 21:00 Titel: Deltapotential Stetigkeitsbedingungen wieso? |
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Hello also mir sind die mathematischen Hintergründe nicht sehr gut bekannt bzw. ich verstehe sie nicht ganz:
habe zwei Herleitungen gefunden und zu beiden Fragen:
1. " man betrachtet ein Potential mit einer unstetigen Stelle a in der Schrödingergl.:
}{\dd x^2} = -2m/h^2 *(E-V(x))\psi (x) )
Dann macht man zwei Annahmen gesondert:
 ) und ' ) seien unstetig in der Stelle a: Dann folgt das für gilt '' \sim \delta' (x-a) ) und für gilt '' \sim \Theta (x-a) )
Das ist aber ein Widerspruch zur rechten Seite der Schrödingergleichung, da '' ) nur eine endliche Sprungstelle besitzen darf."
Meine Frage ist wo sieht man an der Gleichung erstmal das es ei Widerspruch ist und Warum soll es ein Widerspruch sein das Psi unstetig ist? Ich sehe irgendwie nicht warum das so sein soll.
bei zweiten wird es einfach angenommen bzw. so argumentiert:" Am Ursprung ist stetig aber springt damit '' ) die Deltadistribution weghebt."
Diesen Satz verstehe ich nicht ganz wieso ist das so?
Beste Grüße Jan |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 17. Aug 2019 09:45 Titel: Re: Deltapotential Stetigkeitsbedingungen wieso? |
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| DivGradPot hat Folgendes geschrieben: | ... man betrachtet ein Potential mit einer unstetigen Stelle a in der Schrödingergl. ... macht man zwei Annahmen gesondert:
und seien unstetig in der Stelle a ... |
Derartige Argumentationen sind allesamt mathematisch unpräzise. Fakt ist, dass die DGL mit einer Delta-Distribution zunächst mal undefiniert ist, da Distribution streng genommen nur unter einem Integral, angewandt auf geeignete Testfunktionen, sinnvoll sind.
Im vorliegenden Fall ist das Problem sowohl mathematisch unpräzise als auch physikalisch ziemlich sinnfrei. Ich verstehe nicht, warum diese Aufgabe immer wieder diskutiert wird.
Die m.E. sinnvollste physikalische Argumentation liefert
| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Am einfachsten ist es Du stellst Dir eine Potentialbarriere endlicher Dicke vor, die immer höher, aber auch immer schmaler wird (das kannst Du sogar exakt lösen und gucken, ob im Limes das richtige rauskommt). |
D.h. man betrachte
 = V_0\,\delta_\epsilon(x))
für eine Darstellung der delta-Distribution, löse die Schrödingergleichung
\psi_\epsilon = 0)
und betrachte der Grenzfall
 = \lim_{\epsilon \to 0} \psi_\epsilon(x))
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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