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Bell-Zustände unverständliche Notation
 
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Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 12:36    Titel: Bell-Zustände unverständliche Notation Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Guten Tag,
ich habe eine Aufgabe bezüglich reduzierter Dichtematrizen zu lösen, aber verstehe bereits die Notation in der Aufgabenstellung nicht. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Hier die Aufgabe:

Aufgabe:
Gegeben seien die Bell-Zustände


welches jeweils ein verschränktes System aus Zuständen der Unterräume A und B beschreiben. Die Basis der Unterräume sei so gewählt, dass

Zeigen Sie, dass obwohl die Dichtematrizen für die jeweiligen Zustände unterschiedlich sind, ihre reduzierten Dichtematrizen stets gleich sind.

Ich verstehe allerdings schon nicht, wie man aus der obigen Darstellung im Beispiel von auf die Dastellung mit Tensorprodukt kommt.

Wäre net wenn mir jemand kurz zeigen/erklären könnte, wie das geht, anstonsten sollte die Aufgabe nicht schwer sein. Danke schon mal.

Meine Ideen:
Ich gehe mal davon aus, dass die Vektoren in der Darstellung der B jeweils die sein sollen, also


aber auch nach etwas rumprobieren verstehe ich nicht wie man auf die andere Darstllung der Zustände kommt
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8234

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 12:50    Titel: Re: Bell-Zustände unverständliche Notation Antworten mit Zitat

Gast0011 hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Ich verstehe allerdings schon nicht, wie man aus der obigen Darstellung im Beispiel von auf die Dastellung mit Tensorprodukt kommt.

Es gibt vier verschiedene Basisvektoren im Produktraum:
|+>|+>, |->|+>, |+>|-> und |->|->
Deren Darstellung als Vektor wäre dann
(1,0,0,0), (0,1,0,0) , (0,0,1,0) und (0,0,0,1)
Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo, danke erst mal, das hab ich glaube ich auch schon mal bei Wikipedia gesehen. Leider weiß ich immer noch nicht so recht wie ich das jetzt benutzen kann um die Zustände umzuformen.

Mit dem Tensorprodukt habe ich immer so meine Probleme. Könntest du mir evtl. noch einen kleinen Tipp geben?
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8234

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 14:19    Titel: Antworten mit Zitat

Gast0011 hat Folgendes geschrieben:
Hallo, danke erst mal, das hab ich glaube ich auch schon mal bei Wikipedia gesehen. Leider weiß ich immer noch nicht so recht wie ich das jetzt benutzen kann um die Zustände umzuformen.

Welche Zustände umformen? Du sollst doch Dichtematrizen berechnen.
Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 16:11    Titel: Antworten mit Zitat

Also, ich dachte, ich müsste erst die restlichen Zustände so umformen, wie bei um die Dichtematrizen zu berechnen. Mittlerweile habe ich festgestellt, dass das gar nicht nötig ist. Die Dichtematrizen habe ich also bestimmt. Zum Beispiel:



Ich gehe mal davon aus, dass das jetzt stimmen wird. Sorry manchmal stehe ich etwas auf dem Schlauch Augenzwinkern. Danke nochmal.

(Es wäre aber trotdem gut zu wissen, wie man auf die andere Darstellung der B kommt. grübelnd )
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8234

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 16:19    Titel: Antworten mit Zitat

Gast0011 hat Folgendes geschrieben:

(Es wäre aber trotdem gut zu wissen, wie man auf die andere Darstellung der B kommt. grübelnd )

Na, wenn Du z.B. weisst, dass:

Dann lässt sich das doch leicht rauskriegen...
(Ich würde die extra klammern im Vektor mal weglassen, die machen hier nicht so richtig viel Sinn, ich glaub das ist auch was Dich verwirrt.)
Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 17:21    Titel: Antworten mit Zitat

Das verstehe ich jetzt leider auch noch nicht ganz, wenn ich das Produkt der Vektoren bilde, also

gilt dann:


oder wie genau ist das jetzt definiert. Und was hat es dann mit den Indizes A und B auf sich?
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 17:23    Titel: Antworten mit Zitat

Viel einfacher:
Du hast vier Basisvektoren im (vierdimensionalen) Produktraum. Bezüglich dieser Basis haben diese Basisvektoren dann natürlich die Darstellungen: (1,0,0,0), (0,1,0,0),... (das gilt für jede Basis)

Du musst also gar nichts rechnen. Das ist einfach der Zustand geschrieben als vierdimensionaler Vektor in einer bestimmten Basis (und nicht mehr als Tenorprodukt geschrieben).
Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 18:41    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich habe mir das gerade nochmal auf Wikipedia durchgelesen, dort steht das, wenn
eine Basis des Vektorraums U ist und eine Basis des Vektorraums V

dann ist die Basis des Tensorproduktraums gerade . Das Element dieser Basis wird geschrieben als

Müsste dann nicht


sein, oder ist mit der Definition von Wikipedia einfach nur gemeint



Ich bekomme nicht zusammen, wieso bei dem Tensorprodukt dann (ohne Rechnung) sonst der Vierervektor mit lediglich einem 1 Element rauskommt. (Außer das es für einen vierdimensionalen, kartesischen Vektorraum intuitiv Sinn macht die Basisvektoren so zu wählen.)

Tut mir leid, vielleicht bin ich heute etwas schwer von Begriff. smile
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8234

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 18:56    Titel: Antworten mit Zitat

Das wäre eine andere Schreibweise (welche irgendwie von den Extraklammern in Deiner Aufgabenstellung impliziert wird, dort aber offensichtlich nicht gemeint ist).

Von vorne: Es gibt einen Basisvektor eines vierdimensionalen Raumes:

Und in dieser Basis ist b_1 der erste Basisvektor, also in Komponentenschreibweise gegeben durch:
Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,
also ist das dann jetzt mehr eine Konvention, dass , wenn es der erste Basisvektor ist, genauso aussieht?

Dann müssten jetzt


sein, oder nicht?
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8234

Beitrag jh8979 Verfasst am: 25. Apr 2015 19:37    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist korrekt. Das ist aber keine Konvention (zumindest keine ungewöhnliche), das ist die Definition dessen was die Komponentendarstellung meint:

Die Komponenten von a ändern sich natürlich, wenn man eine andere Basis wählt.
Gast0011
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Beitrag Gast0011 Verfasst am: 25. Apr 2015 20:05    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke dir. Ich werde dann mal versuchen den Rest der Aufgabe damit zu machen. Sollte ich noch fragen haben melde ich wieder.
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