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Nachricht |
slasher
Gast
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 slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 11:20 Titel: Nabla-Operator |
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Hallo, ich habe eine (scheinbar) triviale Frage, die mir aber irgendwie trotzdem nicht ganz einfach zu beantworten scheint, weswegen ich kurzen Input von außen brauche.
Folgendes:
Der Nabla-operator ist ja definiert als:
Soweit so gut. Wie man damit arbeitet ist an sich alles klar. Nun gibt es ja auch die Möglichkeit, das ganze (logischerweise) wie folgt zu schreiben:
Auch das erschließt sich mir. Nun aber die Quizfrage:
Wieso funktioniert das hier?
 = \frac {\partial}{\partial \vec r}\left(\vec a \vec r\right) =\vec a)
Wieso funktioniert das hier nicht?
Mir ist klar, dass bei Produkten eine entsprechend Produktregel etc. dazu kommt. Ist es einfach so, dass diese Ableitung nach dem Vektor r nur dann funktioniert, wenn er als Gradient wirkt? Oder worin liegt mein Denkfehler? Sorry, falls die Frage zu einfach erscheint, aber ich bin neu in der Materie.
Danke |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 14:08 Titel: |
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Am einfachsten stellst du das mittels Indexnotation dar; dabei wird über paarweise vorkommende Indizes summiert
 \to \partial_i (a_k r_k) = a_k \partial_i r_k = a_k \delta_{ik} = a_i)
In deiner letzten Gleichung ist die Eins in jeder Darstellung falsch.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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slasher
Gast
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| slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 14:17 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Am einfachsten stellst du das mittels Indexnotation dar; dabei wird über paarweise vorkommende Indizes summiert
In deiner letzten Gleichung ist die Eins in jeder Darstellung falsch.
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Ok, danke erstmal. Aber wie sieht das nun mit der Anwendung der Formel
aus? Darf man die so verwenden, wenn wenn man Skalare (die natürlich vom Vektor r abhängen) mit dem Nablaoperator verrechnet? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 14:34 Titel: |
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Wie willst du das anders verwenden? Es ist doch identisch das selbe
_{i=1\ldots 3}
<br />
)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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slasher
Gast
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| slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 15:16 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wie willst du das anders verwenden? Es ist doch identisch das selbe
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Ich meinte damit , dass ich dann ableiten kann, wie mit stinknormalen nicht vektrowertigen Variablen.
Bsp:
= -\frac{1}{x^2})
= \frac{\partial}{\partial \vec r}\left(\frac{1}{\vec r} \right) = -\frac{1}{\vec r^2}\vec e_r = -\frac{1}{r^2}\vec e_r)
Geht das immer, wenn Nabla als Gradient wirkt? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2015 16:25 Titel: |
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Nein, genau das geht eben nicht.
Und dein Vektor im Nenner darf nicht sein; es muss heißen
^{-1/2})
Berechne das in der Indexnotation, du erhältst sonst immer wieder falsche Vorfaktoren (oder du lernst diverse Rechenregeln auswendig, was ich immer für Unsinn gehalten habe).
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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slasher
Gast
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| slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 17:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nein, genau das geht eben nicht.
Und dein Vektor im Nenner darf nicht sein; es muss heißen
Berechne das in der Indexnotation, du erhältst sonst immer wieder falsche Vorfaktoren (oder du lernst diverse Rechenregeln auswendig, was ich immer für Unsinn gehalten habe). |
Mein Vektor im Nenner darf sein, wenn ich den Einheitsvektor nicht vergesse.
Es gilt ja:
Also lohnt es sich, sich um Indexnotation zu kümmern?`
Ich probiere es mal:
^{-1/2}\right]_i= \partial_i \left(r_j^2\right)^{-1/2} = -\frac {1}{2} \left(r_j^2\right)^{-3/2}\cdot 2r_i = -\frac {r_i}{r^3}= -\frac {1}{r^2}\frac {r_i}{r}= -\frac {1}{r^2} \vec e_r)
Ist das so korrekt? |
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slasher
Gast
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| slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 17:25 Titel: |
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Da muss natürlich rechts die i-te Komponente hin
| slasher hat Folgendes geschrieben: |
^{-1/2}\right]_i= \partial_i \left(r_j^2\right)^{-1/2} = -\frac {1}{2} \left(r_j^2\right)^{-3/2}\cdot 2r_i = -\frac {r_i}{r^3}= -\frac {1}{r^2}\frac {r_i}{r}= -\frac {1}{r^2} \vec e_{r;\,i})
Ist das so korrekt? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Feb 2015 17:52 Titel: |
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| slasher hat Folgendes geschrieben: |
Mein Vektor im Nenner darf sein, wenn ich den Einheitsvektor nicht vergesse.
Es gilt ja:
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Nein, der darf da nicht sein (was sollte denn 1/ \vec{r} sein?).
| Zitat: |
Also lohnt es sich, sich um Indexnotation zu kümmern?`
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Oh ja. Die macht das Leben (insbesondere wenn es nachher kompliziertere Gleichungen werde) sehr viel einfacher.
| Zitat: |
Ist das so korrekt? |
Ja. (Bis auf, dass ganz rechts die i-te Komponente steht, was Du ja schon selber korrigiert hast.) |
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slasher
Gast
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| slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 18:26 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | slasher hat Folgendes geschrieben: |
Mein Vektor im Nenner darf sein, wenn ich den Einheitsvektor nicht vergesse.
Es gilt ja:
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Nein, der darf da nicht sein (was sollte denn 1/ \vec{r} sein?).
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Es gilt doch aber:
Einfach umstellen liefert meine Relation.
und
oder nicht?
Aber freut mich, dass das mit der Indexnotation so passt. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 19. Feb 2015 18:32 Titel: |
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| slasher hat Folgendes geschrieben: |
Es gilt doch aber:
Einfach umstellen liefert meine Relation.
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Mit welcher mathematischen Operation stellst Du das denn um?
| Zitat: |
oder nicht?
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Nein. Wenn Du magst kannst Du das natürlich so definieren, aber das ist dann deine private Notation (mit der Du bald in mathematische Probleme laufen wirst).
1/(...) bedeutet (...)^(-1) bedeutet "Inverses Element von (...) bezüglich der Multiplikation". |
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slasher
Gast
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| slasher Verfasst am: 19. Feb 2015 18:52 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | slasher hat Folgendes geschrieben: |
Es gilt doch aber:
Einfach umstellen liefert meine Relation.
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Mit welcher mathematischen Operation stellst Du das denn um?
| Zitat: |
oder nicht?
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Nein. Wenn Du magst kannst Du das natürlich so definieren, aber das ist dann deine private Notation (mit der Du bald in mathematische Probleme laufen wirst).
1/(...) bedeutet (...)^(-1) bedeutet "Inverses Element von (...) bezüglich der Multiplikation". |
Gut, hatte mich schon gewundert. Aber hab ja quasi schnell gemerkt, dass es da ein Problem gibt. Danke für die Hilfe. Werde mich also an die Indexnotation machen um darin sicher zu werden. Super Hilfe hier  |
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