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ketch
Anmeldungsdatum: 07.10.2010
Beiträge: 6
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 ketch Verfasst am: 22. Nov 2010 00:30 Titel: Nabla-Operator |
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Hallo,
also ich nur eine kurze Frage und zwar unterscheiden sich diese zwei Ausdrücke und wenn ja in was (ein wenig Erklärung) : ( vec(x)*∇)*vec(a) und vec(x)*(∇*vec(a)) beides wird ja der nabla auf vec(a) angewandt , wobei vec für vektor steht. Und was mir auch nicht so klar ist, wann ich einen Vektorgradienten und wann eine Divergenz eines Vektors hab, denn von der Schreibweise unterscheidet es sich ja nicht ∇*vec(a) .(könnte beides sein oder nicht)??
Bitte um Aufklärung! Danke ! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2010 07:33 Titel: |
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Am besten machst du dich mit der Indexschreibweise vertraut, dann siehst du, wie gemeinsame Indizes einem Skalarprodukt entsprechen
 \to \sum_i w_k \partial_i v_i)
 \vec{v} \to \sum_i w_i \partial_i v_k)
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 22. Nov 2010 18:27 Titel: Re: Nabla-Operator |
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| ketch hat Folgendes geschrieben: | | also ich nur eine kurze Frage und zwar unterscheiden sich diese zwei Ausdrücke und wenn ja in was (ein wenig Erklärung) : ( vec(x)*∇)*vec(a) und vec(x)*(∇*vec(a)) |
Dass es sich um Skalarprodukte handelt, und die beiden Ausdrücke sich unterscheiden, hat Dir TomS ja schon erklärt. Der Grund für den Unterschied ist die Tatsache, dass das Skalarprodukt von Vektoren nicht assoziativ ist. Wenn a, b und c Vektoren sind, dann ist also (a·b)·c nicht unbedingt gleich a·(b·c).
Da Vektoren nebenberuflich auch Matrizen sind, kann man das Problem durch Wechsel zur Matrizenschreibweise entschärfen:
 \cdot \vec c = \left( {a^T \cdot b} \right) \cdot c = a^T \cdot \left( {b \cdot c} \right) = a^T \cdot b \cdot c)
bzw.
 = a \cdot \left( {b^T \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b^T } \right) \cdot c = a \cdot b^T \cdot c)
Die Multiplikation von Matrizen ist nämlich assoziativ. Allerdings ist sie im Gegensatz zum Skalrprodukt von Vektoren nicht kommutativ. Die Reihenvolge der Faktoren ändert man also besser in der Vektorschreibweise.
| ketch hat Folgendes geschrieben: | | Und was mir auch nicht so klar ist, wann ich einen Vektorgradienten und wann eine Divergenz eines Vektors hab, denn von der Schreibweise unterscheidet es sich ja nicht ∇*vec(a) |
Auch das ist ein Problem der Vektorschreibweise. In der Matrizenschreibweise ist der Unterschied deutlich zu sehen:
Noch besser ist hier die Komponentenschreibweise:
_i = \sum\limits_i {\nabla _i v_i } )
_{ik} = \nabla _i v_k)
Das funktioniert dann nicht nur für Vektoren, sondern für Tensoren beliebiger Stufe. |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 22. Nov 2010 18:46 Titel: |
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Wobei die Verwirrung auch damit zusammenhängt, dass hier die skalare Multiplikation mit dem Skalarprodukt (inneres Produkt) vermischt werden.
Wenn man für ersteres einfach keinen Punkt machen würde (oder mathematische Schreibweisen verwenden würde) und für letzteres den "Skalarproduktpunkt", dann gibt's ebenfalls weniger Probleme.
Entsprechend definieren auch manche Bücher/Professoren Divergenz und Gradient leicht anders:
Gradient: 
Divergenz: 
Vielleicht hilft es dir selbst, wenn du da eine gewisse Unterscheidung vornimmst. Das ist natürlich auch gefährlich, weil man leicht mal den Punkt übersieht oder nicht macht, aber manchmal kann es helfen.
Gruß
MI |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2010 21:48 Titel: |
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Meiner Meinung nach ist die verkürzte Summenkonvention (Weglassen der Summenzeichen über gleiche Vorzeichen) am besten; an die vielen Indizes muss man sich sowieso gewöhnen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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