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Nachricht |
Kricki
Gast
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 Kricki Verfasst am: 17. Jan 2006 23:59 Titel: Gaußsche Durchlasskurven |
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Hi,
ich habe zwei Interferenzfilter hintereinander stehen auf welche Licht fällt. Betrachtet man jeden Filter für sich, bewirkt der Durchgang durch diesen Filter eine Halbwertsbreite (also eine Verbreiterung) der Frequenzverteilung h_1 bzw. h_2.
Nun ist zu zeigen, dass für Licht, welches durch beide Filter tritt, gilt:
h^2=(h_1)^2+(h_2)^2
Hierbei soll man Gaußsche Durchlasskurven (also eine Frequenzverteilung die eine Gaußverteilung darstellt) voraussetzen.
Meine Idee war zuerst die beiden Gaußverteilungen für jeden Filter zu multiplizieren, das ist jedoch falsch! Richtig gehts mit einer Fouriertransformation. Hat hier jemand eine Idee?
Grüße.
Kricki[/code] |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2006 13:10 Titel: Re: Gaußsche Durchlasskurven |
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| Kricki hat Folgendes geschrieben: | Hi,
eine Halbwertsbreite (also eine Verbreiterung) der Frequenzverteilung h_1 bzw. h_2.
... Gaußsche Durchlasskurven |
Hallo,
bist du dir sicher mit der "Verbreiterung?" Ich denke, die Frequenzverteilung wird schmaler beim Durchgang durch ein Interferenzfilter.
Ein Interferenzfilter filtert aus einem Lichtstrahl, der eine gewissene Frequenzverteilung hat, die Frequenzen heraus, die "nicht durchpassen".
Frequenzen, die weiter von der Durchlassfrequenz entfernt sind, werden stärker unterdrückt als Frequenzen nahe an der Durchlassfrequenz.
Ich würde das so probieren:
Wenn du am Anfang im Lichtstrahl vor dem Interferenzfilter eine ursprünglich relativ breite Frequenzverteilung hast (ich vermute, du sollst eine gaußförmige Frequenzverteilung mit Mittenfrequenz=Durchlassfrequenz der Interferenzfilter annehmen),
dann multiplizierst du diese Frequenzverteilung beim Durchgang durch das erste Filter mit einer Gaußfunktion, deren Breite im Frequenzraum durch h_1 charakterisiert wird.
Für den Durchgang durch den zweiten Filter multiplizierst du die erhaltene Frequenzverteilung mit einer Gaußfunktion, deren Breite durch h_2 charakterisiert wird.
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Woher hast du den Hinweis mit der Fouriertransformation?
Den habe ich in meinem Vorschlag nicht verwendet; ich vermute, wenn du mit Fouriertransformation arbeitest, geht es vielleicht auch für allgemeinere Annahmen für die anfängliche Frequenzverteilung.
Gruß, dermarkus |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Jan 2006 15:37 Titel: |
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Hallo nochmal, diesmal genauer, ausführlicher und leicht korrigiert:
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Vorneweg:
eine Korrektur zum oben gesagten möchte ich anbringen:
Es ist nicht nötig, eine bestimmte Frequenzverteilung (also z.B. Gauß) anzunehmen, um das rechnen zu können.
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Was ich oben vorgeschlagen habe, ist identisch mit deiner Idee, die beiden Gaußfunktionen zu multiplizieren.
Ich erhalte dabei für die Halbwertsbreite h der Gesamtdurchlassfunktion der beiden Interferenzfilter:
 ,
also, wie ich erwarte, eine kleinere Breite als für jeden einzelnen Filter.
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Wenn ich die Definition der Größen h in der Aufgabe richtig verstanden habe (Erläuterung 1.) und 2.) wie folgt), dann erhalte ich also einen anderen Zusammenhang als den in der Aufgabenstellung angegebenen.
Ich halte aber mein Ergebnis für das physikalisch sinnvollere.
1.)
Den Satz
| Kricki hat Folgendes geschrieben: | Betrachtet man jeden Filter für sich, bewirkt der Durchgang durch diesen Filter eine Halbwertsbreite der Frequenzverteilung h_1 bzw. h_2.
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(also ohne den Verbreiterungskommentar in Klammern)
verstehe ich so:
Hat das Licht vor diesem Filter eine homogene Frequenzverteilung, so hat es nach Durchgang durch den Filter eine Frequenzverteilung mit Halbwertsbreite h_1 bzw. h_2.
Und das stimmt mit meiner Interpretation und Rechenweise überein.
2.)
Die Halbwertsbreite einer Gaußschen Durchlasskurve ist für mich dabei der Abstand zwischen den beiden Frequenzen, bei denen diese Kurve auf die Hälfte ihres Maximalwerts abgesunken ist.
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Anmerkung zur Fouriertransformation:
Was ich bisher geschrieben habe, ist die Betrachtung eines engen Frequenzbereichs um eine einzige Durchlassfrequenz der Interferenzfilter herum. Die habe ich gemacht, um die Beziehungen für die Breite der Frequenzverteilung um diese eine Durchlassfrequenz herum zu erhalten.
In Wirklichkeit hat ein Interferenzfilter viele Durchlassfrequenzen; alle im selben Frequenzabstand voneinander. Über der Frequenzachse aufgetragen, sieht das aus wie ein Kamm. (Und die Breite und Form einer einzelnen Zacke dieses Kamms haben wir bisher betrachtet.)
Rechnet man mit einer Fouriertransformation, die den (räumlichen) Abstand zwischen den teilreflektierenden Grenzflächen oder Spiegeln im Interferenzfilter in den Frequenzabstand der Zacken dieses Kammes umrechnet (und eine Beziehung zwischen Reflektivität der Grenzflächen oder Spiegel und der Zackenbreite im Frequenzraum herstellt), erhält man nicht nur die Lösung für eine Zacke, sondern gleich für den gesamten Kamm.
Gruß, dermarkus |
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Kricki
Gast
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| Kricki Verfasst am: 18. Jan 2006 19:00 Titel: |
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Danke für die ausführliche Antwort!
Mein Gesagtes hast du richtig interpretiert, und in der Tat scheint dein Ergebnis physikalisch sinnvoller.
Du sprichst von der Multiplikation der Gauß-Verteilungen im Frequenzraum. Das würde ja einer Faltung, und damit einer Fouriertransformation ensprechen, oder nicht?
Kricki |
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