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ohneplan123
Gast
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 ohneplan123 Verfasst am: 30. Jan 2015 02:34 Titel: Feld im Plattenkondensator |
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Ich brauche bei der Bearbeitung folgender Aufgabe, Hilfe:
Ein Plattenkondensator (Radius R, Abstand d) wird mit konstanten Strom I geladen.
a) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld eine Plattenkondensators (unter Vernachlässigung von Randtermen, d.h. für R gegen Unendlich) gegeben ist durch:
 = \frac{\sigma (t)}{\epsilon_0}\vec{e}_z \Theta (z)\Theta (d-z) )
wobei \sigma die Flächenladungsdichte darstellt. Finden Sie die Felder E und B, wobei Sie annehmen können, dass Das E-Feld im Kondensator mit dem für R gegen unendlich hergeleiteten übereinstimmt und ansonsten verschwindet.
b) Wie Groß ist die im Kondensator gespeicherte Feldenergie?
c) Berechnen Sie den Energiestrom durch einen koaxialen Zylinder mit dem Radius R und vergleichen Sie diesen mit der Änderung, der im Zylinder eingeschlossenen Feldenergie.
Meine Lösung:
a)
Ein Plattenkondensator entspricht zwei gegenüberliegenden Platten, mit gegensätzlicher Ladung ---> Superposition bringt Lösung
Feld einer Platte ist innerhalb des Radius der Platte senkrecht auf der Platte (also in z-Richtng). Außerhalb dieses Radius wird das Feld Kugelsymmetrisch und verhält sich, wie das Feld einer Punktladung.
Der Radius soll gegen unendlich laufen ---> E-Feld nur in z-Richtung.
E-Feld
Es gilt Grundsätzlich mit Hilfe des Gaußsatzes:
}{\epsilon_0} A)
Platte 1:
)
}{\epsilon_0} A)
}{2\epsilon_0})
 = \begin{cases}\frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & z>0 \\ -\frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & z<0\end{cases})
Platte 2:
)
Analog zu Platte 1, nur dass das Feld jeweils in die entgegengesetzte Richtung zeigt, aufgrund der gegensätzlichen Ladung.
 = \begin{cases}-\frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & z>d \\ \frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & z<d\end{cases})
Kondensator:
 = \begin{cases}\frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} - \frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & z>d \\ \frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} + \frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & 0<z<d\\ -\frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} + \frac {\sigma (t)}{2\epsilon_0} \vec{e}_z & z<0\end{cases})
 = \frac{\sigma (t)}{\epsilon_0}\vec{e}_z \Theta (z)\Theta (d-z)}} )
B-Feld
Es gilt das Durchflutungsgesetz:
Zwischen den Platten fließt kein Strom --> j=0
B verläuft im Kreis um die E-Feldlinien herum, die Fläche entspricht der Kreisfläche.
 \pi r^2 \Theta (z)\Theta (d-z) = \mu_0 \frac {I}{\pi R^2}\pi r^2 \Theta (z)\Theta (d-z))
Wegen R-->Unendlich, wird keine Fallunterscheidung für r>R und r<R nötig. Es gilt immer r>= R.
 = \frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}r \Theta (z)\Theta (d-z)}}\vec {e}_{\phi})
Stimmen die Felder so?
b)
Feldenergie
)
Soweit so gut, aber hier bin ich mir unschlüssig, ob mein Ergebnis stimmt. Setze ich hier R für r in B ein? Ich meine es geht schließlich um die gesamte Feldenergie. Dann die Thetafunktion, passiert damit irgendetwas wenn ich sie quadriere? Eigtl. müsste sie zu 1 werden.
Mein Ergebnis ist:
}^2}{\epsilon_0} + \frac {\mu_0 I^2} {4\pi R^2}\right))
Ist das korrekt?
c)
Energiestromdichte
Poyntingvektor
)
Energiestrom
Poyntingvektor
D.h. Ich müsste hier rechts mit den Integral auf die zeitliche Ableitung der Lösung aus Aufgabe b) kommen. Ist der Ansatz richtig? Ich komme nämlich nicht drauf. Vielleicht kann mir jemand sagen, woran es liegt.
Danke für jede Hilfe im Voraus
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 30. Jan 2015 02:36 Titel: Re: Feld im Plattenkondensator |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: |
...
D.h. Ich müsste hier rechts mit den Integral auf die zeitliche Ableitung der Lösung aus Aufgabe b) kommen. Ist der Ansatz richtig? Ich komme nämlich nicht drauf. Vielleicht kann mir jemand sagen, woran es liegt.
Danke für jede Hilfe im Voraus
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 30. Jan 2015 03:52 Titel: |
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Ich sehe gerade, meine Feldenergie ist in Wahrheit die Energiedichte und muss über das Volumen integriert werden. Richtig?
Ich setz mich morgen nochmal dran |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 31. Jan 2015 00:31 Titel: |
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Habe die Lösung jetzt gefunden!
Energiedichte
)
Feldenergie
Energiestromdichte
)
Energiestrom
und am Ende kommt man auf:
\dot{\sigma}(t)} {\epsilon_0} \pi R^2 d)
Wer das bestätigen kann, bitte vortreten! |
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