Ritzsches Variationsprinzip

Dragonfruits · Gast

Hi,
ich versuche gerade mir selbst die Inhalte der Vorlesung Theoretische Chemie I beizubringen. Es geht um den Beweis des Ritzschen Variationsprinzips.
Im Skript steht

H soll ein Hamiltonopertator sein. Ich verstehe allgemein die Aufspaltung in das nte bzw. mte Psi nicht. Im ersten Ausdruck steht doch ein und das selbe Phi. Einmal halt die Konjugierte einmal die "Normale". Allgemein habe ich leider das Prinzip mit den Entwicklungskoeffizienten nicht ganz verstanden. Steht m für einen ganz eigenen Satz von Wellenfunktionen oder ist m ein Glied der n-Reihe also n = 0,1,2,3....m.... ?
Eine Funktion lässt sich ja entwickeln nach

Ich verstehe nicht, an welcher Stelle noch ein m.tes Glied gebraucht wird.

Ich hoffe, es ist verständlich was gemeint ist, und dass jemand Helfen kann.

Viele Grüße,
Dragonfruits

Dragonfruits · Gast

RitzRatz · Gast

Das kommt daher, dass hier ein Operator entwickelt wird. Sei eine vollständige Orthonormalbasis

des Hilbertraums gegeben. Dann lässt sich der Hamilton-Operator entwickeln gemäß

.
Hier lässt sich jetzt sowohl von hinten als auch von vorne eine Wellenfunktion "andocken".

RitzRatz · Gast

Oder vielleicht einfacher: Man kann zur Berechnung von

sowohl vorne als auch hinten die von dir angegebene Entwickung der Wellenfunktion einsetzen. Dazu braucht man dann zwei Summen, um die gemischten Terme zu behandeln.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ergänzung: Das ist mehr oder weniger die Definition einer Orthonormalbasis eines Hilbertraums: Eine Menge vom Vektoren

heißt orthonormal, falls

, und Orthonormalbasis, falls sich zusätzlich jeder Vektor als

schreiben lässt. Es ist dann

wegen der Sesquilinearitätseigenschaften des Skalarprodukts.

Dragonfruits · Gast

Danke ersteinmal. Leider gelingt es mir noch nicht eure Antworten nachzuvollziehen. Ich kann auch noch nicht so richtig mein Problem spezifizieren. Ich komme ja aus der Chemie-Ecke und habe deswegen vor allem mit der Mathematik Probleme. Zum Beispiel folgende Def.:

Wie kommt man auf diese Definition? Ist es sinnvoll, das verstehen zu wollen, oder ist das eine reine Konventionssache ?

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Das ist keine Konvention oder Definition, sondern eine Tatsache:

Das gehört zur Definition von Orthonormalbasis dazu!

Hast du mal lineare Algebra oder etwas Vergleichbares gehört? Eine Orthonormalbasis ist trotz des Namens keine Basis im Sinne der linearen Algebra (d.h. keine Hamel-Basis, die es zwar in jedem Vektorraum gibt, aber bei unendlichdimensionalen Hilberträumen nicht sehr nützlich ist), sondern eine Schauder-Basis. Dennoch bestehen gewisse Analogien (und bei endlichdimensionalen Vektorräumen stimmen die Begriffe überein). Zum Beispiel kannst du den

betrachten mit dem euklidischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis

und

Dann ist z.B.

, aber

.

Es bleibt von deiner ganzen Summe nur das Glied mit m=n übrig.

Oder was sollte damit definiert werden?