Rotverschiebung - Carroll's lecture notes

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich habe mal versucht, mir einige Probleme bzgl. der (kosmologischen) Rotverschiebung klarzumachen. Dabei will ich minimalistische Annahmen treffen und keine Voraussetzung bzgl. Koordinatensystemen, Beobachtern oder Symmetrien der Raumzeit treffen.

Meine Vorgehensweise ist wie folgt: ich definiere die Frequenz omega gemäß

u bezeichnet dabei die Vierergeschwindigkeit eines Beobachters, k den Wellenvektor. Dieser Ausdruck wird für den Ort der Quelle sowie des Empfängers für zwei jeweils dort befindliche Beobachter i = 1,2 ausgewertet.

Die Rotverschiebung z folgt dann gemäß

Die Frage ist nun, wie man den Wellenvektor k entlang der Geodäten x verschiebt. Geometrisch muss das wohl eine Parallelveschiebung sein (physikalisch müsste man das als Näherung der geometrischen Optik herleiten).

D.h.

entlang der Geodäten

wobei v die Geschwindigkeit (Ableitung) bzgl. des affinen Parameters entlang x bezeichnet

Nach eigenen Überlegungen und bestätigt durch Carroll's lecture notes

http://preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-three.pdf

löst man die Gleichung für die Parallelverschiebung mittels Pfadordnung

So, bis hier her ist alles klar.

Was mich irritiert ist die Bemerkung

"the frequency of the photon measured by a comoving observer is"

in

http://preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-eight.pdf

nach Gl. (8.65)

Warum führt er hier die Vierergeschwindigkeit v ein? Ich hätte doch den Wellenvektor k erwartet. Ist das in unserem Fall masseloser Photonen sowie des affinen Parameters das selbe?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

OK, k und v sind beide lichtartig sowie tangential zu x. D.h. es muss k ~ v gelten. Und damit wird k identisch so parallel verschoben wie v selbst. Da nun aber v aus der Geodäte selbst folgt, benötige ich den Propagator gar nicht.

Das führt zu einer anderen Frage: wenn dies alles stimmt, ist dann die Rotverschiebung tatsächlich trivialerweise durch die Lösung der Geodätengleichung für die lichtartige Vierergeschwindigkeit v gegeben? Ist es wirklich so einfach?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Ich rede hier fast nur mit mir selbst, aber wenn's hilft ...

Wir wissen, dass x eine lichtartige Geodätengleichung erfüllt. Wir wissen, dass der Wellen- bzw. Impulsvektor k eines Photons parallel zum Geschwindigkeitsvektor ist. D.h. es gilt

Wenn x die Geodätengleichung löst, dann ist v eine spezielle Lösung der Gleichung zur Parallelverschiebung. Letztere ist aber linear im zu verschiebenden Vektor, d.h. mit v ist auch

eine Lösung zur Parallelverschiebung.

Meine Definition der Frequenz lautet damit

Die Konstante k fällt bei der Bildung des Quotienten heraus, d.h. es gilt

Letzte Frage: ist das wirklich so einfach?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Ich denke schon smile